Pobabilidad

VALOR ESPERADO
El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimos veinte años ha sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de incertidumbre.
Para obtener el valor esperado de una variable aleatoriadiscreta, multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro.
Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto (en un conjunto finito de números en uno infinito como: los naturales, los enteros o los racionales), por ejemplo si lavariable aleatoria X toma los siguientes valores:
X = 0, 1, 2, 3, … decimos que es discreta
La probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada por la función de probabilidad:
P(X = i ), para i = 0, 1, 2, 3, ... ;
Sea P(X = i ) = pi para i = 0, 1, 2, 3, ... Se tiene que p1 + p2 + p3 +...+ pn +... = 1
Se define el Valor Esperado de una Variable Aleatoria con distribución discretacomo:

µ= E(X) =Σxf (x)
Y para una variable aleatoria con distribución continua como
µ= E(X) = ∫ xf x dx

Teorema de la probabilidad total
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dadapor la expresión:

Probabilidad condicional
Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. Apuede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidadde que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;







Donde:

p(A½E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió
p(AÇE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo
p(E) = probabilidad de que ocurraE

Luego;





Por tanto:



Donde:

½AÇE½= número de elementos comunes a los eventos A y E
½E½= número de elementos del evento E
Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.

Ejemplos:
1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lomenos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero dos.

Solución:
El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación;


(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
d = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a. a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos,

A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro,
E...