poblemas_de_algebra
Páginas: 5 (1250 palabras)
Publicado: 5 de noviembre de 2015
TEMAS 1, 2 Y 3
Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales.
Diagonalizaci´
on.
Problemas (enunciados)
1
Dadas las matrices
0
1
1 1 2
A = @ −1 2 4 A;
2 3 1
„
D=
1
1
−1
2
2
5
calcular:
(a) 2A − 3B
0
4
B=@ 3
0
0
«
1
I3 = @ 0
0
;
(b) (CD)t − A2
(d) AB − BA
−1
2
5
0
1
0
1
0
−1 A;
−2
0
−1
C=@ 0
1
1
0
0 A,
1
(c) (5A − I3 ) (I3 − B)
(e) ABA.
„
2
Hallar las matrices My N que verifican 3M − 2N =
„
5M + 7N =
3
1
3
4 A;
−1
12
52
28
28
47
22
«
1
−6
−8
−8
−9
7
«
y
.
Sean las matrices A ∈ M2×1 , B ∈ M1×3 y C ∈ M3×1 . Indicar si son posibles los
siguientes productos y, en caso afirmativo, dar el orden de la matriz resultante:
(a) A (BC)
4
(b) ACB
Dadas las matrices A =
`
(d) B t C t A (e) (BC)t At .
0
1
0
´
3 y B = @ 2 A, hallar los productos AB
1(c) BAC
2
−1
y BA.
0
5
1
Dadas las matrices A = @ 3
0
(a) (A + B) (A − B)
(c) (A + B)2
2
1
1
1
0
−1
1
2 AyB=@ 1
1
1
−1
0
1
1
2
3 A, calcular:
4
(b) A2 − B 2
(d) A2 + 2AB + B 2
¿Por qu´e no coinciden las respuestas de los apartados (a) y (b)? ¿Y las de (c)
y (d)?
2
6
7
Calcular los
tos:
˛
˛ 1
˛
(a) ˛˛ 2
˛ −2
1
−6
1
−6
2
8
4
2
1
2
0
3
0
4
−3
˛
˛
˛
˛
˛
(e) ˛˛
˛
˛
˛
0
0
1
0
0
0
00
0
2
2
0
0
0
0
Calcular, cuando
0
1
2
B 1
−5
(a) B
@ 2 −10
0
2
1
(c) @ 2
−2
9
1
3
3
˛
˛
˛
˛
(c) ˛˛
˛
˛
0
8
siguientes determinantes, haciendo ceros y desarrollando por adjun-
1
3
3
˛
˛
˛
˛
(b) ˛˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
0
2
0
0
0
3
−4
1
2
0
0
0
1
0
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1
2
0
1
3
3
−1
−2
−4
0
6
3
−5
2
3
5
˛
˛ 2
˛
˛ 3
(d) ˛˛
˛ −3
˛ 3
4
4
4
3
2
1
2
0
0
5
6
2
˛
˛ 0
˛
˛0
˛
(f ) ˛˛ −1
˛ 0
˛
˛ 0
2
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
0
0
0
1
0
˛
˛
˛
˛
˛
˛.
˛
˛
˛
˛
sea posible, la inversa de las siguientes matrices:
1
1
0
0 3
1 1
1
3 9 C
C (b) @ 2 3 −6 A
6 9 A
−2 3
1
1 0
1
1
2 A
−2
Hallar el rango de las
0
2 −1
0
(a) A = @ 1
9
3
0
1
B 2
B
(d) @
0
1
3
3
−1
−2
matrices:
0
1
6
B
6 A (b) B = B
@
1
−4
0
6
3
3
1
2
−6
1
−5
2 C
C.
3 A5
4
0
4
−8
9
6
3
−18
Hallar, seg´
un los valores de los par´
ametros, el rango de:
0
1
0
1 2 3
2 x x
B 4 5 6
B
@
A
−1 1 2
(b) B = @
(a) A =
7 8 x
1 2 6
0 0 0
0
1
(c) C = @ −1
0
3
5
7
7
9
14
1
7
x A
4
0
1
(d) D = @ 1
0
3
5
7
x
3
5
1
−4
−5 C
C.
1 A
8
1
0
0 C
C
0 A
1
1
4
6 A.
7
3
10
Estudiar el car´
acter y resolver, en caso de compatibilidad, los siguientes sistemas:
8
8
x − 2y + z −4t = 1
< 4x − 8y = 12
<
3x − 6y =
9
x + 3y + 7z + 2t = 2
(a)
(b)
:
:
−2x + 4y = −6
x − 12y − 11z − 16t = 5
8
x − 2y + z + t
>
>
<
3x + 2z − 2t
(c)
4y − z − t
>
>
:
5x + 3z − t
=
=
=
=
8
>
>
<
x − y + 2z + 6t
8y + 6z + t
(e)
3x − 3y + 6z + 18t
>
>
:
x + 7y + 8z + 7t
8
>
>
>
>
<
(g)
11
>
>
>
>
:
=
=
=
=
x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4
6x1 + 3x2 + x4
7x1 + 5x2 + 4x3 + 5x4
5x1 + x2 − 4x3 − 3x4
2x1 + 4x2 +2x4
2x1 + 2x2 − x3 + x5
−x1 − x2 + 2x3 − 3x4 + x5
(d)
x1 + x2 − 2x3 − x5
>
>
:
x3 + x4 + x5
8
x−y
>
>
<
x+z
(f )
> y−t
>
:
z + 2t
2
−5
6
−3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
1
2
5
−1
4
1
5
−3
2
Analizar seg´
un los valores del par´
ametro y resolver, en caso de compatibilidad,
los sistemas:
8
1
< −x + 3y + z =
(1 − t)x + (t + 3)y = 3t + 1
x − 2y =
b
(b)
(a)
2(1 − t)x + (t + 6)y =
t+2
:2x + y + 5z = −2
8
ax + y + z − 3t
>
>
<
x+z
(c)
ax − y + t
>
>
:
2y + t
=
=
=
=
8
x + 2y − z
>
>
<
x + ay + z
(e)
x − y − 2z
>
>
:
2x + y + z
1
2
6
5
8
>
>
<
12
8
>
>
<
2
−8
1
−3
=
=
=
=
0
0
0
0
8
>
>
<
x−y+z−t
2x − 3y + z + t
(d)
x − 2y + z − t
>
>
:
2x − 3y + 2z − at
8
x + 2y − z
>
>
<
x+y+z
(f )
x
− y − 2z
>
>
:
2x + y + z
=
=
=
=
=
=
=
=
0
1
a
2
1
2
6a
5
8
x + y + z + 2t = 0
<(a + 1)x + (a − 1)y − (a + 1)z
3x − y + z − 3t = 0
ay + z
(h)
(g)
x + ay + z − t = 0
>
:
>
(a + 1)x + (2a − 1)y + (a − 1)z
:
2x + 3y − z − t = 0
0
1
0
1
0 a 1
1
Dada la matriz @ 1 0 1 A, calcular el valor de a para que@ 1 A sea un
1 1 0
1
autovector asociado al autovalor 2.
=
=
=
2
0
1
4
0
13
3
Sean las matrices A = @ 2
4
2
0
2
1
0
4
0
2 Ay B=@ 1
3
1
1
0
1
1
1
1 A
0
(a) Obtener sus...
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