poblemas_de_algebra

1
TEMAS 1, 2 Y 3
Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales.
Diagonalizaci´
on.
Problemas (enunciados)

1

Dadas las matrices
0
1
1 1 2
A = @ −1 2 4 A;
2 3 1
„
D=

1
1

−1
2

2
5

calcular:
(a) 2A − 3B

0

4
B=@ 3
0
0

«

1
I3 = @ 0
0

;

(b) (CD)t − A2

(d) AB − BA

−1
2
5
0
1
0

1
0
−1 A;
−2

0

−1
C=@ 0
1

1
0
0 A,
1

(c) (5A − I3 ) (I3 − B)

(e) ABA.
„

2

Hallar las matrices My N que verifican 3M − 2N =
„
5M + 7N =

3

1
3
4 A;
−1

12
52

28
28

47
22

«

1
−6

−8
−8

−9
7

«
y

.

Sean las matrices A ∈ M2×1 , B ∈ M1×3 y C ∈ M3×1 . Indicar si son posibles los
siguientes productos y, en caso afirmativo, dar el orden de la matriz resultante:
(a) A (BC)

4

(b) ACB

Dadas las matrices A =

`

(d) B t C t A (e) (BC)t At .
0
1
0
´
3 y B = @ 2 A, hallar los productos AB
1(c) BAC
2

−1

y BA.
0

5

1
Dadas las matrices A = @ 3
0
(a) (A + B) (A − B)
(c) (A + B)2

2
1
1

1
0
−1
1
2 AyB=@ 1
1
1

−1
0
1

1
2
3 A, calcular:
4

(b) A2 − B 2
(d) A2 + 2AB + B 2

¿Por qu´e no coinciden las respuestas de los apartados (a) y (b)? ¿Y las de (c)
y (d)?

2

6

7

Calcular los
tos:
˛
˛ 1
˛
(a) ˛˛ 2
˛ −2

1
−6
1
−6
2
8
4

2
1
2
0

3
0
4
−3

˛
˛
˛
˛
˛
(e) ˛˛
˛
˛
˛

0
0
1
0
0

0
00
0
2

2
0
0
0
0

Calcular, cuando
0
1
2
B 1
−5
(a) B
@ 2 −10
0
2
1
(c) @ 2
−2

9

1
3
3

˛
˛
˛
˛
(c) ˛˛
˛
˛

0

8

siguientes determinantes, haciendo ceros y desarrollando por adjun-

1
3
3

˛
˛
˛
˛
(b) ˛˛
˛
˛

˛
˛
˛
˛
˛
˛

0
2
0
0
0

3
−4
1
2
0
0
0
1
0

˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛

˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛

1
2
0
1

3
3
−1
−2

−4
0
6
3

−5
2
3
5

˛
˛ 2
˛
˛ 3
(d) ˛˛
˛ −3
˛ 3

4
4
4
3

2
1
2
0

0
5
6
2

˛
˛ 0
˛
˛0
˛
(f ) ˛˛ −1
˛ 0
˛
˛ 0

2
0
0
0
0

0
3
0
0
0

0
0
0
0
2

˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛

˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
0
0
0
1
0

˛
˛
˛
˛
˛
˛.
˛
˛
˛
˛

sea posible, la inversa de las siguientes matrices:
1
1
0
0 3
1 1
1
3 9 C
C (b) @ 2 3 −6 A
6 9 A
−2 3
1
1 0
1
1
2 A
−2

Hallar el rango de las
0
2 −1
0
(a) A = @ 1
9
3

0

1
B 2
B
(d) @
0
1

3
3
−1
−2

matrices:
0
1
6
B
6 A (b) B = B
@
1

−4
0
6
3

3
1
2
−6

1
−5
2 C
C.
3 A5

4
0
4
−8

9
6
3
−18

Hallar, seg´
un los valores de los par´
ametros, el rango de:
0
1
0
1 2 3
2 x x
B 4 5 6
B
@
A
−1 1 2
(b) B = @
(a) A =
7 8 x
1 2 6
0 0 0
0

1
(c) C = @ −1
0

3
5
7

7
9
14

1
7
x A
4

0

1
(d) D = @ 1
0

3
5
7

x
3
5

1
−4
−5 C
C.
1 A
8
1
0
0 C
C
0 A
1
1
4
6 A.
7

3

10

Estudiar el car´
acter y resolver, en caso de compatibilidad, los siguientes sistemas:
8
8
x − 2y + z −4t = 1
< 4x − 8y = 12
<
3x − 6y =
9
x + 3y + 7z + 2t = 2
(a)
(b)
:
:
−2x + 4y = −6
x − 12y − 11z − 16t = 5
8
x − 2y + z + t
>
>
<
3x + 2z − 2t
(c)
4y − z − t
>
>
:
5x + 3z − t

=
=
=
=

8
>
>
<

x − y + 2z + 6t
8y + 6z + t
(e)
3x − 3y + 6z + 18t
>
>
:
x + 7y + 8z + 7t
8
>
>
>
>
<
(g)

11

>
>
>
>
:

=
=
=
=

x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4
6x1 + 3x2 + x4
7x1 + 5x2 + 4x3 + 5x4
5x1 + x2 − 4x3 − 3x4
2x1 + 4x2 +2x4

2x1 + 2x2 − x3 + x5
−x1 − x2 + 2x3 − 3x4 + x5
(d)
x1 + x2 − 2x3 − x5
>
>
:
x3 + x4 + x5
8
x−y
>
>
<
x+z
(f )
> y−t
>
:
z + 2t

2
−5
6
−3
=
=
=
=
=

=
=
=
=

=
=
=
=

0
0
0
0

1
2
5
−1

4
1
5
−3
2

Analizar seg´
un los valores del par´
ametro y resolver, en caso de compatibilidad,
los sistemas:
8

1
< −x + 3y + z =
(1 − t)x + (t + 3)y = 3t + 1
x − 2y =
b
(b)
(a)
2(1 − t)x + (t + 6)y =
t+2
:2x + y + 5z = −2
8
ax + y + z − 3t
>
>
<
x+z
(c)
ax − y + t
>
>
:
2y + t

=
=
=
=

8
x + 2y − z
>
>
<
x + ay + z
(e)
x − y − 2z
>
>
:
2x + y + z

1
2
6
5

8
>
>
<

12

8
>
>
<

2
−8
1
−3

=
=
=
=

0
0
0
0

8
>
>
<

x−y+z−t
2x − 3y + z + t
(d)
x − 2y + z − t
>
>
:
2x − 3y + 2z − at
8
x + 2y − z
>
>
<
x+y+z
(f )
x
− y − 2z
>
>
:
2x + y + z

=
=
=
=

=
=
=
=

0
1
a
2

1
2
6a
5

8
x + y + z + 2t = 0
<(a + 1)x + (a − 1)y − (a + 1)z
3x − y + z − 3t = 0
ay + z
(h)
(g)
x + ay + z − t = 0
>
:
>
(a + 1)x + (2a − 1)y + (a − 1)z
:
2x + 3y − z − t = 0
0
1
0
1
0 a 1
1
Dada la matriz @ 1 0 1 A, calcular el valor de a para que@ 1 A sea un
1 1 0
1
autovector asociado al autovalor 2.

=
=
=

2
0
1

4
0

13

3
Sean las matrices A = @ 2
4

2
0
2

1
0
4
0
2 Ay B=@ 1
3
1

1
0
1

1
1
1 A
0

(a) Obtener sus...