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La Derivada

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LA DERIVADA

M.C. Escher. Nudos. Grabado en madera.

A muchos de los análisis económicos conciernen
las medidas de cambios. La aplicación de cálculo a
las relaciones económicas permite una medida precisa de los ritmos de cambios en las variables económicas. Por medio del entendimiento de los ritmos
de cambio es posible aplicar reglas de decisiones
para optimizarlos diversos fenómenos
económicos,entre otras: maximización de ganancias
y minimización de costos.
La derivada de una función en un punto dado representa la razón de cambio de la función en ese punto.
La derivada puede interpretarse geométricamente
como la pendiente de la recta tangente a la curva de
la función que se está derivando.

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Matemática I
PLAN DEL CAPÍTULO
1.DIFERENCIACIÓN

2.

REGLAS DE DERIVACIÓN

3.

APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

4.

PRÁCTICA DE APLICACIÓN

5.

RESPUESTAS

6.

PROBLEMAS RESUELTOS

OBJETIVOS GENERALES

• Repasar el concepto de derivada y los métodos de
derivación de funciones aplicables al campo de la
administración pública.
• Aplicar la derivada a problemas económicos de
maximización de utilidades,producción e ingresos y
minimización de costos y desutilidades.

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La Derivada

1. DIFERENCIACIÓN
Cinco conceptos básicos en cálculo proveen la base para el análisis de problemas de optimización económica: límites, reglas de derivación, derivadas parciales, derivadas múltiples y reglas de máxima y mínima.

1.1 Derivada como un límite
La derivada nos indica la forma como cambia otrafunción. Matemáticamente se calcula como un límite
especial que se presenta en la explicación siguiente. No siempre se calculan las derivadas a través del límite
de su definición, por lo que se ha llegado a unas reglas nemotécnicas que abrevian el proceso de derivación
y se conocen como reglas de derivación.
Historia. El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue elprimero en publicar
la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la
rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y
otro pais. Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad
de un móvil.
Explicación de la noción de derivada
Enla figura 1, la magnitud del cambio en la función Y= ƒ(x) depende del cambio
de x en x0 y x0 + Dx. Ese cambio de x es Dx, lo que causa que ƒ(x) cambie en la
magnitud de ƒ(x0 + Dx) - ƒ(x0) ó Dy.
Por razones que pronto parecerán obvias, el economista está interesado en que
Dx sea un punto. Pero si Dx es un punto, eso implicaría que Dx=0, y no se espera
que cero cambio en x cause un cambio en ydiferente a cero. Este dilema se
resuelve por medio de la aplicación del concepto de límites. En la figura 1 el punto
de interés está en la pendiente de la curva que es el cambio en el rango de la
función con respecto a la magnitud del cambio en el dominio de la función, o

Δy f ( X + Δx) − f ( x)
=
Δx
Δx
Si se presume que el cambio en el dominio es muy pequeño o aproximado a cero
, elcociente anterior se podría modificar así

f ( x + Δx) − f ( x)
dy
ΔY
= lim
= f ' ( x) =
Δx → 0 Δx
ΔX → 0
Δx
dx

limf ( x) = lim
Δx → 0

lo que indica que mientras Dx se aproxima a cero, el límite de la función ƒ(x) es

dy
dy
, una derivada. Y=ƒ(x) es una función primaria y
es una función que se
dx
dx

å
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Matemática I

deriva de ella. El cociente

dy
es unafunción comúndx

mente llamada primera derivada y se escribe ƒ '(x).

Una derivada es el límite del cociente

dy
y por lo tanto
dx

debe ser una medida del ritmo de cambio, o, dicho más
específicamente, un ritmo de cambio instantáneo. Mientras Δx → 0, Δy→ al valor que es la pendiente de la
curva en la figura 1.

El dilema expuesto por la medida de

dy
cuando x es
dx

un punto...