Poincare Bendixon

El Teorema de Poincar´ y de Bendixson
e
Orlando Galdames Bravo
6 de abril de 2010

Pr´logo
o
Para la labor de recopilaci´n y clasificaci´n del material se han utilizado
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mayormente los recursos en l´
ınea disponibles en internet, libros, art´
ıculos,
apuntes, etc. . . incluyendo los art´
ıculos originales de Poincar´ [24] y Bendixe
son [1]. Para las rese˜as hist´ricas se hautilizado b´sicamente el texto de
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a
Krzysztof Ciesielski [4], el cual recomiendo para tener, con pocas palabras,
una visi´n amplia sobre el tema. Para las explicaciones intuitivas y los coo
mentarios bibliogr´ficos se han usado las notas de Scott Zimmerman [32].
a
Para la prueba he elegido la del libro de Gerald Teschl [28], por considerarla
la m´s cercana en el tiempo y con una notaci´nmas actual de las que he ena
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contrado. Tambi´n nos hemos valido del libro de Morrys W. Hirsch y Stephen
e
Smale [13] y del libro de Philip Hartman [11] el cual dedica unas 60 p´ginas a
a
la teor´ de Poincar´-Bendixson, para completar la demostraci´n de Teschl.
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El libro de Hartman suele presentarse como un libro de nivel avanzado, pero
en su defensa dir´ que al menos la parte dela teor´ de Poincar´-Bendixson
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esta expuesta con bastante detalle. Para explicar los l´
ımites del teorema nos
hemos referido a las notas de curso de los profesores Joris Vankerschaver y
Moley Tao [29]
Como prerrequisitos a pesar de que hay conceptos que necesitan algo m´s
a
que los apuntes que se pueden proporcionar en un trabajo de este calibre, y
siendo una doctrina que aunauna amplia variedad de ramas de la matem´tica
a
intentaremos dar una idea general de los conceptos necesarios en ecuaciones
diferenciales ordinarias, topolog´ y sistemas din´micos. Pero hay que decir
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que tambi´n son necesarios conocimientos en an´lisis de dos variables reales,
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geometr´ del plano y rudimentos del algebra de grupos.
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El trabajo se divide en dos partes, unaformativa en la que se demuestra el
teorema a un nivel de detalle comprensible para la mayor´ de los estudiantes
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de matem´ticas, y una segunda parte informativa en la que se enumeran dia
versas versiones de los teoremas en distintos ´mbitos de las matem´ticas. Esta
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segunda parte deja constancia de la semilla plantada por la fuerte influencia
que han producido y producen hoy en d´
ıa.1

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Indice
1. Prerrequisitos
1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . .
o
1.2. Topolog´ . . . . . . . . . . . . . .
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1.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias .
1.4. Sistemas din´micos . . . . . . . . .
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2. El Teorema de Poincar´-Bendixson
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2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2. Demostraci´n delTeorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3. Limitaciones del Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Versiones del Teorema de Poincar´-Bendixson
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3.1. Lasversiones originales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Poincar´-Bendixson y los sistemas din´micos . . . . . . . . . . 22
e
a
3.3. Poincar´-Bendixson sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . 23
e

2

Introducci´n
o
Henri Poincar´ (1854-1912) es, sin duda, uno de los matem´ticos m´s ine
a
a
fluyentes y es considerado padre de la teor´ cualitativa de ecuacionesdiferenıa
ciales. Uno de los motivos de esta consideraci´n viene por su trabajo publicao
do entre 1881 y 1886 [24], concretamente en el volumen 1 (1885) obtiene una
primera versi´n del teorema para un sistema aut´nomo en el plano x’=f(x),
o
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con f una funci´n anal´
o
ıtica. En el volumen 2 (1886) realiza un estudio del
diagrama de fases de un problema de mec´nica celeste, logrando...