Poisson

Rev. Int. M´t. Num. C´lc. Dis. Ing. e a Vol. 19, 3, 383–394 (2003)

Revista Internacional de M´todos Num´ricos para e e C´lculo y Dise˜o en Ingenier´ a n ıa

La ecuaci´n de Poisson desde el punto de vista de o la mec´nica a
Leonid P. Lebedev
Department of Mechanics and Mathematics Rostov State University, Rusia Departamento de Matem´ticas a Universidad Nacional de Colombia Bogot´, Colombiaa Tel.: 57-1-345 24 80; Fax: 57-1-316 52 47 e-mail: lebedev1946@yahoo.com

Ricardo O. Grossi *
Instituto de Ingenier´ Civil y Medio Ambiente de Salta ıa Facultad de Ingenier´ – Universidad Nacional de Salta ıa Avenida Bolivia 5150 4400 Salta, Rep´ blica Argentina u Tel.: 54-387-425 53 79; Fax: 54-387-425 53 51 e-mail: grossiro@unsa.edu.ar

Resumen
En este trabajo se discuten algunascuestiones de la teor´ de problemas de contorno para la ecuaci´n de ıa o Poisson mediante el uso de una membrana como un objeto descrito por la mencionada ecuaci´n. Se muestra o c´mo una interpretaci´n mec´nica de la ecuaci´n de Poisson permite explicar ciertas relaciones conocidas de o o a o la teor´ general y tambi´n c´mo permite arrojar luz sobre varios problemas que se originan en la aplicaci´n ıa e oo de m´todos num´ricos, com´ nmente usados en la resoluci´n de los problemas de contorno. e e u o

POISSON’S EQUATION FROM THE VIEWPOINT OF MECHANICS

Summary
Some questions of the theory of boundary value problems for Poisson’s equation are discussed, using a membrane as an object described by the equation. A mechanical interpretation of the equation allows us to explain some relationsknown from the general theory and to shed some light on various problems in the application of numerical methods commonly used to solve the boundary value problems.

´ INTRODUCCION La conocida ecuaci´n de Poisson a∆u = −F surge en varias areas de la f´ o ´ ısica. El significado f´ ısico de los t´rminos y par´metros que intervienen en esta ecuaci´n dependen e a o del area particular en la cual ´sta seaplica. En la f´ ´ e ısica matem´tica se estudian las a propiedades generales de la ecuaci´n de Poisson y as´ como tambi´n los problemas de o ı e contorno asociados1,2 .
* Miembro de la Carrera de Investigador Cient´ ıfico del CONICET

c Universitat Polit`cnica de Catalunya (Espa˜ a). ISSN: 0213–1315 Recibido: Junio 2002 Aceptado: Octubre 2002 e n

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L.P. Lebedev y R.O. Grossi

Losautores de textos en matem´tica usualmente presentan una derivaci´n de la ecuaci´n a o o a partir de un determinado problema f´ ısico, por ejemplo mec´nico o el´ctrico, pero luego a e realizan desarrollos matem´ticos desvinculando a la ecuaci´n de su planteo f´ a o ısico. Aunque ocasionalmente estos autores pueden establecer que determinados resultados matem´ticos a est´n vinculados con el sistemaf´ a ısico original, raramente proporcionan una imaginer´ ıa concreta tal que explique los resultados matem´ticos correspondientes y simult´neamente a a provea una adecuada intuici´n sobre el comportamiento real del sistema. Cabe destacar o que dicha visi´n intuitiva es dif´ de lograr en ciertas areas. No obstante, en mec´nica la o ıcil ´ a ecuaci´n de Poisson describe el equilibrio est´tico de unamembrana, esto es: esta ecuaci´n o a o gobierna la deflexi´n u de la membrana sometida a tensiones internas caracterizadas por el o par´metro a bajo la acci´n de la carga F . a o Desde el punto de vista matem´tico la membrana es considerada como un dominio D del a plano y en consecuencia, cada uno de sus puntos es descrito mediante el par de coordenadas cartesianas (x, y). Mediante un adecuadocambio de variables se puede lograr que sea a = 1 y esto es lo que se supone de aqu´ en m´s. Obviamente en este caso la ecuaci´n se reduce a ı a o ∆u = −F (1)

En las primeras etapas de la matem´tica cl´sica se estudi´ el caso particular de la ecuaci´n a a o o o o de Poisson con F = 0, la cual se conoce como ecuaci´n de Laplace. Para esta ecuaci´n fueron formulados los denominados problemas de...