Polígonos Construibles Y No Construibles

Polígonos
construibles
y
no construibles








✓ Asignatura:

Seminario



✓ Profesores:

Gustavo Piñeiro

Carolina Chávez




✓ Alumna:

Constanza Paravagna






Índice


Introducción pág. 2

Polígonos construibles pág. 3


El Heptadecágono de Gauss y los polígonos noconstruibles pág. 4

Construcción aproximada del Heptágono pág. 5

El sentido de enseñar construcciones con regla y compás en la escuela media pág. 10

Conclusión pág. 12

Bibliografía pág. 13

Anexo pág. 14

























Introducción


Este artículo es completa y exclusivamente fruto del asombro que me causó el enterarme de que un heptágono regular no es construible con regla y compas. Todocomenzó cuando los docentes de la materia Seminario nos enviaron el enlace de un video de Youtube en el que se mostraba la supuesta construcción con regla y compás de un heptágono regular. Además de exponer, en clase, un segundo método para una tal construcción. El planteo que nos hicieron fue señalar si alguno de ambos método era correcto. Al ver el video, y al realizar la otra construcciónpropuesta, mi impresión fue que ambos métodos eran correctos, pero luego, al exponer el tema en la clase siguiente, llegó mi asombro.
¿Por qué mi sorpresa? Es probable que el lector recuerde que en algún momento de nuestra trayectoria escolar nos han enseñado a construir, con regla y compás, polígonos regulares de cualquier número de lados, utilizando métodos particulares para cada uno. Aquí es dondeviene lo interesante, ya que, sin sospechar nada, nos encontrábamos frente a representaciones, algunas exactas, y otras aproximadas de estos polígonos, sin que nosotros supiéramos diferenciar unas de otras (quizás, inclusive, le echábamos la culpa al compas cuando no nos “cerraba” del todo el polígono).
Mi objetivo en este artículo es mostrar, paso a paso, el análisis que he realizado parallegar, finalmente, a que existen algunos polígonos que son construibles con regla y compás y otros que no lo son (y que, por lo tanto, tienen representaciones aproximadas y no exactas).
En este análisis exhibiré, en principio, los primeros polígonos construibles. Luego, haciendo alusión a la historia, señalaré cuáles fueron los aportes de Gauss, la importancia de su heptadecágono y la condición queobtuvo para determinar exactamente qué polígonos son construibles.
Finalmente, presentaré la representación aproximada de un heptágono mostrando las diferencias numéricas de la construcción y exhibiré un análisis de cuál es el sentido de enseñar construcciones con regla y compás en la escuela media.






























Polígonos construibles




Antes de comenzar creo que será mejordefinir qué es un polígono construible, para ello voy a decir: Un polígono construible es un polígono regular que puede ser construido con regla y compás.
Vale aclarar que un polígono regular es aquel en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Ahora bien, ¿cuál es la importancia de la regla y el compás? Históricamente la regla y elcompás han sido elementos primordiales, ya que los matemáticos griegos consideraban a la recta y al círculo como figuras geométricas perfectas. Es por ello que realizaban construcciones utilizando como elementos únicos la regla para trazar líneas rectas y el compás para trazar circunferencias.
Las primeras construcciones de algunos polígonos regulares se presentan en la obra los Elementos, libro IV,del matemático y geómetra griego Euclides. Digo algunos porque sólo aparecen construidos, inscriptos en una circunferencia, los polígonos regulares de tres, cuatro, cinco y quince lados, así como también todos los deducidos de los anteriores por bisección reiterada de sus lados. Es decir, si se puede dividir la circunferencia en n partes iguales, se puede dividir la circunferencia en 2n partes...