Polígonos regulares e irregulares

Polígonos regulares
En geometría, se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden serconstruidos con regla y compás.

Elementos de un polígono regular[editar]
PoliReg 02.svg
Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado,hasta el centro del polígono.
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.
Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la saeta: S, es igual al radio: r.

Propiedades de un polígono regular[editar]Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.
Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.
Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.
Ángulos de un polígono regular[editar]
PoliReg 00.svg
Central[editar]
Todos los ángulos centrales de un polígonoregular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:
\alpha = \frac{360^\circ}{n} \; en grados sexagesimales
\alpha = \frac{2\pi}{n} \; en radianes
Interior[editar]
El ángulo interior, \beta \,, de un polígono regular mide:
\beta = 180^\circ \cdot \frac{(n-2)}{n} \; en grados sexagesimales
\beta = \pi \cdot \frac{(n-2)}{n} \; enradianes
La suma de los ángulos interiores, \sum \beta \; , de un polígono regular es de:
\sum \beta = 180^\circ \cdot {(n-2)} \; en grados sexagesimales
\sum \beta = \pi \cdot {(n-2)} \; en radianes
Exterior[editar]
El ángulo exterior, \gamma \; , de un polígono regular es de:
\gamma = \frac{360^\circ}{n} \; en grados sexagesimales
\gamma = \frac{2 \pi}{n} \; en radianes
Lasuma de los ángulos exteriores, \sum \gamma \,, de un polígono regular es:
\sum \gamma = 360^\circ \; en grados sexagesimales
\sum \gamma = 2 \pi \; en radianes


Galería de polígonos regulares[editar]

Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)


Cuadrado (cuadrilátero regular) (4)


Pentágono regular (5)


Hexágono regular (6)


Heptágono regular (7)


Octágonoregular (8)


Eneágono regular (9)


Decágono regular (10)


Endecágono regular (11)


Dodecágono regular (12)


Tridecágono regular (13)


Tetradecágono regular (14)
Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Área de un polígono regular[editar]
PoliReg 03.svg
Existen diversas fórmulas para calcularel área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema[editar]
El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

A = \frac {P \cdot a}{2}
[Expandir]Demostración
En función del número de lados y la apotema[editar]
PoliReg 04.svg
Sabiendo que:


A_p =
\frac {L \cdot n \cdot a} {2}
Además \delta =\frac {\pi} {n} \ , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:


L =
2 \cdot a \cdot \tan
\left (
\frac {\pi} {n}
\right )
Sustituyendo el lado:


A_p =
\frac
{
\left (
2 \cdot a \cdot \tan
\left (
\frac {\pi} {n}
\right )...