Policia

E.T.S. INGENIEROS INDUSTRIALES. U.N.E.D CÁLCULO. Ingeniería Mecánica. Modelo A PRUEBA PRESENCIAL 1a SEMANA. FEBRERO 2011.

PREGUNTAS CORTAS 1. (1 PUNTO) Sabiendo que la ecuación x3 + 2x2 − 1 = 0 tiene una raíz en el intervalo (0, 1), calcúlese por el método de la bisección con un error menor de 0.3. Solución. El intervalo en el que hay que buscar la solución es un dato del problema. Como f (0)= 03 + 2 · 02 − 1 = −1 < 0, f (1) = 13 + 2 · 12 − 1 = 2 > 0,

f es continua y tiene distintos signos en los extremos del intervalo (0, 1), existe un x ∈ (0, 1) donde f (x) = 0. Calculamos el valor de f en el punto medio del intervalo (0, 1), que es x2 = 0.5. En este punto f (0.5) = 0.53 + 2 · 0.52 − 1 = −0.375 < 0 y por eso seguimos con el intervalo [0.5, 1]. El punto medio de [0.5, 1] es x3 =0.5 + 1 = 0.75 2 =⇒ f (0.75) = 0.753 + 2 · 0.752 − 1 = 0.546875 > 0.

Tenemos que la solución aproximada va a estar en [0.5, 0.75]. Como su longitud es menor que 0.3, cualquier punto de este intervalo es una solución aproximada. 2. (1 PUNTO) Calcule el valor del siguiente límite: x + ex . x→∞ 2x + ex lim Solución. Es una indeterminación del tipo ∞ y tanto el numerador como el denominador sonfunciones ∞ con el mismo dominio, derivables y el numerador no se anula si x tiende a ∞. Podemos aplicar la regla de L’Hôpital: x + ex 1 + ex = lim . x x→∞ 2x + e x→∞ 2 + ex lim Este límite es de nuevo
∞ ∞

por lo que aplicamos el mismo procedimiento: 1 + ex ex = lim x = lim 1 = 1. x→∞ 2 + ex x→∞ e x→∞ lim

3. (1 PUNTO) Sea {fn } la sucesión de funciones definida por: fn (x) = (1 − x)n sen Estudiesi converge puntualmente en el intervalo (0, 2). Solución: La función fn es el producto de una función acotada (el seno) y (1−x)n . Además, |fn (x)| ≤ |1−x|n . Tomando límites, resulta que limn→∞ fn (x) = 0 por la regla del emparedado y porque limn→∞ |1 − x|n = 0 si |1 − x| < 1, lo que ocurre si x ∈ (0, 2) en particular. 2π . x

4. (1 PUNTO) Sea f : D ⊂ R2 → R una función continua y derivableen un punto (a, b). Indique qué condiciones debe cumplir f para que (a, b) sea un punto crítico. Si f (x, y) = x2 − y 2 + 2y, ¿es (0, 0) un punto crítico de f? Solución: Un punto crítico es aquel en el que se anulan las derivadas parciales de la función o, equivalentemente, es aquel en el que el gradiente de f vale 0. Para esta función, calculamos las derivadas parciales: ∂f (x, y) = 2x = 0, ∂x ∂f(x, y) = −2y + 2 = 0 ∂y ⇐⇒ x = 0, y = 1.

Por eso, (0, 0) no es un punto crítico de esta función. EJERCICIOS 5. (3 PUNTOS) Calcule la siguiente integral Z x6 dx. +1

x2

Solución: Es una integral racional, y el grado del numerador es mayor que el del numerador: primero hay que realizar el cociente entre polinomios ¢ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ x4 x2 + 1 − x2 x2 + 1 + x2 + 1 − 1 1 x6 = = x4 − x2 + 1 − 2 . 2+12+1 x x x +1 Entonces Z x6 dx = x2 + 1 ¸ Z ∙ 1 4 2 x −x +1− 2 dx x +1 Z Z Z Z 4 2 = x dx − x dx + dx − = 1 5 1 3 x − x + x − arctg x + C. 5 3

1 dx x2 + 1

6. (3 PUNTOS) Estudie la continuidad de la función dada por ⎧ µ ¶ 1 ⎨ 2 x sen , (x, y) 6= (0, 0) , f (x, y) = x2 + y 2 ⎩ 0, (x, y) = (0, 0) .

Solución: La función es el producto de una función polinómica por la función seno, que sonfunciones continuas. Luego el producto resulta ser también una función continua si (x, y) 6= (0, 0) donde el argumento del seno no está definido. Veamos si se cumple la definición de continuidad
(x,y)→(0,0)

lim

f (x, y) = f (0, 0) = 0.

Tenemos ¯ µ ¯ 2 ¯x sen 0≤¯ ¯ ¯ µ ¶¯ ¶ ¯ ¯ ¯ 2¯ ¯ 1 1 ¯ ≤ ¯x ¯ ya que ¯sen ≤ 1¯ . ¯ ¯ 2 + y2 ¯ 2 + y2 x x

Tomando límites cuando (x, y) → (0, 0) 0≤(x,y)→(0,0)

lim

¯ µ ¶¯ ¯ 2 ¯ 1 ¯x sen ¯, lo que implica que Entonces lim(x,y)→(0,0) ¯ x2 + y 2 ¯ µ ¶ 1 lim x2 sen = 0. x2 + y 2 (x,y)→(0,0)

¯ µ ¯ 2 ¯x sen ¯

¶¯ ¯ 2¯ ¯ 1 ¯x ¯ = 0. ¯≤ lim 2 + y2 ¯ x (x,y)→(0,0)

Ya podemos afirmar que la función también es continua en (0, 0). µ ¶ 1 2 Observe el alumno que, sin embargo, la expresión x sen no está definida en el origen (0, 0). x2 + y 2...