polihedro

Una incursión en el mundo de los poliedros

Motivación
A veces a los matemáticos nos gusta hacer pensar a los alumnos sobre la idealidad de los conceptos de punto, recta, planos, polígono, … Frente a esta insistencia, que a veces causa angustia cuando no rechazo, en hablar de lo que no existe se yergue el concepto de poliedro, algo que al menos tiene “todas” lasdimensiones y que nos es completamente familiar. Parece lógico querer clasificar la diversidad de algunas de sus formas y en una primera etapa debemos limitarnos a las formas elementales (pirámides y prismas). Más adelante, pasada la etapa de recortar y pegar, podemos buscar otras formas de clasificación, entre las que está la regularidad de las figuras, y que habrá sido propiciada por el estudioanterior de polígonos regulares. Descubriremos en este enfoque la posibilidad de usar métodos de razonamiento y de recuento, por un lado simples pero ingeniosos, y que son modelo de la forma de trabajar e investigar en Matemáticas y otras ciencias. Así pondremos en práctica métodos de reducción, analogía, análisis, síntesis, generalización, deducción, modelización, formalización, ordenación,sistematización, abstracción y proyección. También podremos hacer patente la relación algebraica existente entre formas y nombres numéricos, así como poder contar los elementos de los poliedros a través de simples ecuaciones de primer grado. El tema completado con la construcción real de los poliedros, a través de materiales a nuestro alcance, permite la conjunción de la belleza estética de las formascon la belleza formal de los razonamientos, en una arrebatadora armonía, no exenta de sorpresas, que permite en definitiva la percepción del orden.Apoyados también por el ordenador podremos revisar construcciones y comprobar y formular apasionantes conjeturas
Nuestra unidad didáctica sería de aplicación en un curso de matemáticas de 3º de la ESO, o con más tiempo en la asignatura de Taller deMatemáticas de 3º o 4º , pero también puede ser tomada como un pequeño compendio de observaciones y clasificación de formas, una guía didáctica de inmersión en el variopinto mundo de los poliedros, al alcance de una mente curiosa e imaginativa.
Pretendemos ofrecerla como un recurso más en un aula- laboratorio con fichas y sugerencias, y con unas tareas claras a realizar.

Objetivos- Definir con precisión poliedro regular.
- Conocer y reconocer los cinco poliedros platónicos.
- Conocer la fórmula de Euler y saber que se aplica para poliedros convexos.
- Saber trazar un mapa plano de los poliedros regulares.
- Observar las distintas características de los poliedros regulares que facilitan su dibujo plano y dan lugar a su clasificación en otras familias poliédricas.- Tener una cierta idea de la dualidad entre los poliedros platónicos.
- Saber definir poliedro semirregular.
- Saber dar un nombre numérico a los poliedros semirregulares y saber interpretar el significado de este número y su uso para la construcción de estos.
- Manejar métodos de representación que descartan la existencia de algunos números como nombres de poliedros semirregulares.
- Conocerla clasificación en familias de los poliedros semirregulares.
- Conocer que hay 13-14 poliedros arquimedianos.
- Saber contar caras, aristas y vértices de los poliedros regulares a partir de su nombre y de la fórmula de Euler (saber construir sus ecuaciones de Euler en función del número de vértices)
- Conocer la propiedad de los poliedros semirregulares de tener superficie circunscrita(posibles balones)
- Tener una idea de los poliedros de Catalan y relacionarlos numéricamente con sus duales arquimedianos. Saber que tienen superficie esférica inscrita.
- Tener una idea de la semirregularidad en los polígonos y consecuencias de dualidad -
respecto a la circunscripción y la inscripción de un polígono en una circunferencia.
- Conocer lo que es un deltaedro y saber cómo...