polimero

Capitulo III
Matemática III (733)
Objetivo 2. Calcular las integrales impropias, los criterios y propiedades
correspondientes.
Ejercicio 1
∞

Determine la convergencia o divergencia de

∫
3

arctg ( x − 2)
3

( x − 2)

4

dx

Solución
Justificación: Primero voy a hacer algunos comentarios acerca de lo que
es una integral impropia. En muchas ocasiones resolvemos integralesdenominadas definidas por algunos autores y propias por otros, y se
caracterizan porque la función f es continua y acotada en un intervalo cerrado

[ a, b ]

y se representan así:
b

∫ f ( x)dx
a

Ahora bien, las integrales que no son propias, es decir, impropias, son
aquellas donde el intervalo de integración es infinito o que la función no esta
acotada, es decir, cuando la funcióntiene un número finito de discontinuidades
infinitas en alguno de los extremos de integración o en un punto que pertenece
al intervalo de integración.
A las primeras integrales (el intervalo de integración es infinito) algunos
autores las llaman de primera especie y a las segundas (función no acotada)
las llaman integrales impropias de segunda especie, e inclusive hay autores
que definen untercer grupo, llamándolas de tercera especie a aquellas que son
mixtas, es decir, tienen características de las integrales impropias de primera y
segunda especie y normalmente se resuelven dividiéndola en 2 integrales, una
de primera y otra de segunda especie y aplicar la resolución correspondiente a
cada una.
Ahora bien, la pregunta es: ¿Cómo calculo una integral impropia?
Respuesta: Secalculan de la siguiente manera:
Integrales impropias de primera especie (limite de integración infinito)
∞

Caso 1:

b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
a

b →∞

a

b

Caso 2:

∫

−∞
∞

Caso 3:

∫

−∞

b

f ( x)dx = lim

a →−∞

∫ f ( x)dx
a
c

f ( x)dx = lim

a →−∞

∫

b

f ( x)dx + lim ∫ f ( x)dx
b →∞

a

c

Para los 2 primeros casos, si los limitesexisten y son finitos, se concluirá
que la integral CONVERGE, en caso contrario, es decir, que el límite exista y
sea infinito o que no exista se concluirá que la integral DIVERGE.
En el tercer caso, se cumple el mismo criterio de convergencia o
divergencia ya mencionado, con la salvedad de que la integral original
∞

∫

f ( x)dx diverge si alguna de las integrales de la derecha diverge.−∞

Integrales impropias de segunda especie (función no acotada)
Caso 1: f ( x) tiene una discontinuidad infinita en el extremo inferior a ,
recuerda que una discontinuidad infinita de una función es cuando:
lim f ( x) = ∞
x →a

o

lim f ( x) = −∞
x→a

Estas condiciones son las que se tenían que cumplir cuando en
Matemática 2 se te pedía hallar asíntotas verticales.
En este casose escribirá:
b

b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
a

c→a +

c

Observa que el límite tiende a a por la derecha, porque estamos dentro
del intervalo de integración.

Caso 2: f ( x) tiene una discontinuidad infinita en el extremo superior b .
En este caso se escribirá:
b

c

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
a

c →b −

a

Observa que el límite tiende a b por la izquierda, porqueestamos dentro
del intervalo de integración.

Caso 3: f ( x) tiene una discontinuidad infinita en un punto c que
pertenece al intervalo de integración c ∈ [ a, b] , en este caso se escribirá.
b

∫
a

c

b

a

c

d

b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = lim− ∫ f ( x)dx + lim+ ∫ f ( x)dx
d →c

a

d →c

d

Gráficamente la situación del intervalo sería:

Para los 2primeros casos, si los limites existen y son finitos, se concluirá
que la integral CONVERGE, en caso contrario, es decir, que el límite exista y
sea infinito o que no exista se concluirá que la integral DIVERGE.
En el tercer caso, se cumple el mismo criterio de convergencia o
divergencia ya mencionado, con la salvedad de que la integral original
∞

∫

f ( x)dx diverge si alguna de las...