POLINOMIO CARACTERÍSTICO


POLINOMIO CARACTERÍSTICO VALORES Y VECTORES PROPIOS
Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:



La matriz (A - λ·I), donde In es la matriz identidad n-cuadrad y λ un escalar indeterminado, sedenomina matriz característica de A:
 
  
Su determinante, det (A - λ·I), que es un polinomio en λ, recibe el nombre de polinomio característico de A.
Asimismo, llamamos adet (A - λ·I) = 0ecuacióncaracterística de A.

Definición de valores y vectores propios
Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor o un valor característico de A si existe un vector, diferente delvector cero, x tal que: Ax = λx

 

El procedimiento de cálculo de valores y vectores propios se resume así:
Paso 1: Calcular y factorizar el polinomio det(A − λI), a efecto de obtener los valorespropios de A. Es decir, resolver la ecuación característica: det(A − λI) = 0.
Paso 2: Para cada valor propio λ, hallar una base de Vλ, resolviendo el sistema (A − λI) x = 0.
Ejemplo1:
Dado el sistemancontrar los valores y vectores propios



λ =5, λ = -1 valores propios
Tomando la matriz y sustituyendo los valores de encontrados, se procederá a encontrar los vectores propios.
Para
==

Se obtiene –4X+2Y=0 como restricción, despejando la restricción y sustituyéndola se encuentra el vector.
-4X+2Y=0 -> Y=2X
( )= ( )= X( ) para V1 = (1,2)
Para
= =

Seobtiene 2X+2Y=0 como restricción, despejando la restricción y sustituyéndola se encuentra el vector.
2X+2Y=0 -> Y=-X
( )= ( )= X( ) para V2 = (-1,1)

Ejemplo 2
Dado el sistema ncontrarlos valores y vectores propios


λ=2, λ=2, λ =1 Valores propios

Tomando la matriz y sustituyendo los valores de encontrados, seprocederá a encontrar los vectores propios.
Para
= = =

Se obtiene –X+Y=0 y 2X-Z=0, como restricciones, despejando las restricciones y sustituyéndolas se encuentra el vector.
-X+Y=0 -> Y=X...