Polinomio De Interpolación De Lagrange

Polinomio de Interpolación de Lagrange

Teorema 3.2
Si x0 , x1 ,…, xn son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados
en esosnúmeros, entonces existe un único polinomio P ( x ) de grado a lo más n, con la

propiedad de que

f ( xk ) = P ( xx )

para cada k = 0,1,… , n .

Este polinomioestá dado por
P ( x ) = f ( x0 ) L0 ( x ) +

+ f ( xn ) Ln ( x )

n

= ∑ f ( xk ) Lk ( x )
k =0

donde para cada k = 0,1,… , n

( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x− xk −1 ) ( x − xk +1 ) ( x − xn −1 ) ( x − xn )
( xk − x0 )( xk − x1 ) ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 ) ( xk − xn −1 )( xk − xn )
n
( x − xi )
=∏
i = 0 ( xk − xi )i≠k

Lk ( x ) =

■
El polinomio definido en el Teorema anterior se llama Polinomio de interpolación de
Lagrange de grado n correspondiente a la función f enlos puntos x0 , x1 ,…, xn .
Teorema 3.3
Supongamos que x0 , x1 ,…, xn son n+1 números distintos en el intervalo [ a, b ] y que

f ∈ C n +1 [ a, b ] . Entoncespara cada x en [ a, b ] existe un número ξ ( x ) en [ a, b ] tal que

f ( x) = P ( x) +

f ( n +1) ( ξ ( x ) )

( n + 1) !

( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn )donde P ( x ) es el polinomio de interpolación de Lagrange definido antes.

■

Si se usa P ( z ) para aproximar el valor de f en un punto z, entonces elerror cometido es

f ( z ) − P ( z ) . Si se conoce una cota para f (

n +1)

( x ) en [ a, b] , entonces el teorema anterior

permite obtener una cota para elerror absoluto:
Si f (

n +1)

( x ) ≤ A para todo

f (z) − P(z) ≤

x ∈ [ a, b ] entonces

A
( z − x0 ) ( z − x1 )
( n + 1) !

( z − xn )

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