Polinomio

POLINOMIOS

← Definición: Función Polinómica.

- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es:
[pic]

← Definición: Polinomio.

- Polinomio de variable real x, es toda expresión de la forma:
[pic]

- OBSERVACIONES:

- Se puede decir que el polinomio P(x) es el medio paracalcular el número f(x).
- [pic]se denominan coeficientes del polinomio.
- el subíndice i de [pic]indica que [pic]es el coeficiente de [pic](i es un natural que varía entre 0 y n)

- Ejemplo:
[pic]

← Definición: Llamaremos VALOR NUMÉRICO de un polinomio P(x) con respecto a un número real ( al número que so obtiene luego de efectuar operaciones en P(x) cuando se sustituyela variable x por (. (notaremos P(()).

- Ejemplo:
[pic]

← Definición: Raíz de P(x).
[pic]

- En el ejemplo anterior observamos que P(1) = 0, por lo tanto x = 1 es raíz de P(x).

← Definición: Grado de un polinomio.

El grado de [pic], es el mayor i natural tal que [pic].
Notación: [pic], [pic]

-Ejemplo:
[pic]

← Definición: Polinomio Nulo.
[pic]

- No existe el grado del polinomio nulo.
- El polinomio nulo admite infinitas raíces.

← Definición: Polinomios Idénticos.

[pic]

- Es decir, dos polinomios son idénticos si, tienen igual grado, y además los coeficientes de los términos delmismo grado sean iguales.

- Observación:

- Si dos polinomios son idénticos, sus valores numéricos son iguales para cualquier x real.

← OPERACIONES CON POLINOMIOS.

- Definición: SUMA DE POLINOMIOS:

[pic]

- S(x) por su forma es un polinomio cuyos coeficientes son los reales [pic]. Esto significa que cada coeficiente del polinomio S(x) se obtiene sumandolos coeficientes de los términos semejantes, es decir, los términos de igual grado.

- Definición: Polinomios opuestos.

[pic] , el polinomio opuesto de P(x) es [pic]. Notación: el polinomio opuesto de P(x) lo notaremos –P(x).

- Definición: Diferencia de Polinomios:

Dados los polinomios P(x) y Q(x), [pic] Al polinomio D(x) lo llamamos diferencia entre P(x) y Q(x) y – es lasustracción entre polinomios.

- Definición: PRODUCTO DE POLINOMIOS:

Dados los polinomios [pic] y [pic], el producto A(x).B(x) es [pic].

- Algunas consecuencias:

[pic]

← Definición: DIVISIÓN ENTERA

- Definición: División Entera.

[pic] verifican:
[pic]

- Nota: Admitiremos el esquema de división:

- Observaciones:

1) El cocientey el resto de una división son únicos.

2) En el caso en que [pic]decimos:
- D(x) divide a A(x).
- A(x) es divisible por D(x).
- A(x) es múltiplo de D(x).
- La división A(x) por D(x) es exacta.

3) [pic]

← División por (x - ()

- Sea un polinomio P(x) dividido por (x - (). Es decir

[pic]

- El grado del polinomio cociente es la diferencia entre losgrados de los polinomios dividendo y divisor. Llamando n al grado del polinomio dividendo tenemos que[pic].
- El coeficiente principal de Q(x) es igual al coeficiente principal de A(x) pues surge de dividir este último por 1, ya que, en esta división, 1 es el coeficiente principal del divisor.

Esquematizando:
.

← Esquema de Ruffini.

- Muchas veces para resolverdeterminados problemas es útil un algoritmo conocido como “Esquema de Ruffini[1]”

Hallaremos el cociente y resto de dividir [pic] por B(x) = x-2.

| |5 |7 |-21 |0 |6 |
|2 | |10 |34 |26 |52 |
| |5 |17 |13...