polinomio

Definición algebraica[editar · editar código]

Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables.
Polinomios de una variable[editar · editar código]Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como \scriptstyle\mathbb{R} o \scriptstyle\mathbb{C}, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y n \in \mathbb{N}, entonces un polinomio, P_{}^{}, de grado n en la variable x es un objeto de la forma

P(x)_{}^{} = a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.Un polinomio P(x) \in K[x] no es más que una sucesión matemática finita \left\{{a_n}\right\}_n tal que a_n \in K.
Representado como:
P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n
el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (otérmino independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.
Polinomios de varias variables[editar · editar código]
Como ejemplo, de polinomios de dos variables desarrollando los binomios:
(2)\begin{cases}
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 +4xy^3 + y^4 \end{cases}
Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.
Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de unavariable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
5xy, 3xz^2, 4xy^2z, \dots
En detalle el último de ellos 4xy_{}^2z es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.
Grado de un polinomio[editar · editar código]
Artículo principal: Grado (polinomio)
Se defineel grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
Convencionalmente se define el grado delpolinomio nulo como \scriptstyle -\infty. En particular los números son polinomios de grado cero.
Operaciones con polinomios[editar · editar código]

Artículo principal: Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términosdel otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios: P(x) = (2x_{}^3+4x+1) y Q(x)_{}^{} = (5x^2+3) , entonces el producto es:
P(x)Q(x)_{}^{} = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2) + (2x^3+4x+1)(3)= (10x_{}^5 + 20x^3 + 5x^2) + (6x^3+12x+3)= 10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir losdatos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

P(X)Q(X)_{}^{} = \left( \sum_{i=0}^m a_i X^i \right)
\left(\sum_{j=0}^n b_j X^j \right) =
\sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{p=0}^k a_p b_{k-p} \right) X^k
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

P(x)Q(x)_{}^{} = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) = (1\cdot 3)x_{}^0 + (4 \cdot...