polinomio


POLINOMIOS

La teoría de ecuaciones está basada en el Álgebra de Polinomios y en este apunte queremos formalizar un poco más estas nociones, estudiando el algoritmo de la división para polinomios y luego volver a estudiar la resolución de ecuaciones e inecuaciones a través de un estudio elemental sobre ceros de polinomios.

DEFINICIÓN 1:
Un polinomio ( ofunción polinomial ) , es una expresión
de la forma:

donde a 0 , a 1 , … , a n son constantes reales y la variable x toma valores
en IR .

OBSERVACIONES :

1 ) Para 0 ≤ i ≤ n, las expresiones a i x i las llamaremos los términos
del polinomio y los elementos a i los coeficientes de los
correspondientesx i

2 ) Para representar polinomios utilizaremos expresiones tales como:
a ( x ) , b ( x ) , . . . , p ( x ) , q ( x ) , r ( x ) , etc…


DEFINICIÓN 2:
Sea p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n
un polinomio sobre IR. Entonces:
i) Si a n 0, diremos que p ( x ) es un polinomio de grado
n, n IN 0 y lo escribiremos: gr ( p ( x ) ) = n ; al
número a n lo llamaremos el coeficiente principal de
p( x ) y, en particular, si a n = 1 diremos que p( x ) es
mónico .ii ) Si a i = 0 para cualquier i = 0, 1, . . . , n , entonces
diremos que p ( x ) es el polinomio cero (o polinomio
nulo ) y lo denotaremos por 0 ( x ) .

OBSERVACIONES:

1 ) En general, cualquier número real puede ser considerado como un
polinomio de grado cero y,en tal caso, los llamaremos polinomios
constantes. Además, al término a 0 lo llamaremos el término
constante de p ( x ).

2 ) Usaremos la notación:
IR [ x ] = { p ( x ) / p ( x) es un polinomio en x sobre IR }
P n = { p ( x ) IR[x] / gr ( p ( x ) ) ≤ n }


DEFINICIÓN 3:
Dados dos polinomiosp ( x ) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n =
q ( x ) = b 0 + b 1 x + . . . + b m x m =

diremos que p ( x ) y q ( x ) son iguales ssi:

i ) m = n ( igual número de términos ).
ii ) a i = b i , i = 0, 1, . . . , n ( iguales coeficientes ).








DEFINICIÓN 4:Sean
p ( x ) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n =
q ( x ) = b 0 + b 1 x + . . . + b n x n =

dos polinomios en x sobre IR , entonces:


i ) La suma de p ( x ) y q ( x ) es el polinomio:

p ( x ) + q ( x ) = ( a 0 + b 0 ) + ( a 1 + b 1 ) x + ( a 2 + b 2 ) x2 + . . . +
( a n + b n ) x n =

ii ) El inverso aditivo de q ( x ) es el polinomio:

− q ( x ) = ( − b 0 ) + ( − b 1 ) x + ( − b 2 ) x 2 + . . . + ( − b n ) x n
= − b 0 − b 1 x – b 2 x 2 − . . . – b n x n.

iii ) La resta p ( x ) − q ( x ) es el polinomio: p ( x ) + ( − q( x ) )



DEFINICIÓN 5:
Sean:
p ( x ) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n =
q ( x ) = b 0 + b 1 x + . . . + b m x m =



dos polinomios en x sobre IR. El producto de p ( x ) y q ( x ) es el polinomio:
p ( x ) · q ( x ) = a 0 b 0 + ( a 0 b 1 + a 1 b 0 ) x +...