Polinomio

POLINOMIO
En matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»-muchos y «νόμος»-división, y del latín «binomios») es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Entérminos más precisos, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.
Es frecuente el término polinomio, como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinomio, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados encálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones poli nómicas y las funciones poli nómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos depolinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.
Definición algebraica
Polinomios de una variable
Para a0, …, un constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con un distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio sepuede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0,…, un se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a un, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama Mónico o normalizado.
Polinomios de varias variables
Los polinomios de varias variables, a diferencia de losde una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y z respectivamente.
Grado de un polinomio
Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es eldel monomio de mayor grado.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.
P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como. En particular los números son polinomios de grado cero.
Operaciones conpolinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios: y, entonces el producto es:

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene queadquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios y y el polinomio producto:
(*)
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nuloes el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que (junto con la operación) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.
Funciones poli nómicas
Una función poli nómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado un polinomio P[x] se puede definir una función poli nómica asociada a él dado substituyendo...