Polinomio

Se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un producto de un coeficiente y una variable elevado a un número natural, que se llama el exponente del monomio.
Ejemplos de monomios son . El siguiente ejemplo describe en detalle las partes de un monomio. Si consideramos el monomio:

es un monomio con coeficiente 6, variable x y exponente 5. Por tanto, el grado de estemonomio es 5.
El grado de un monomio es su exponente. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En el polinomio, existe el término independiente, que es un monomio que no tiene parte literal o variable, es decir, que no tiene variables o letras que lo acompañen. Algunos ejemplos:
P(x) = 2, polinomio de grado cero.
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 2x2+ 3x + 2,polinomio de grado dos.

Los elementos de los polinomios son:

* Los coeficientes, o valores constantes ai, con i = 0, 1, 2, ..., n. El que multiplica a la variable elevada al mayor grado se denomina coeficiente principal (denotado por an), mientras que el que no contiene variable se llama término independiente (a0).
* La variable x.
* Los exponentes a los que se eleva la variable.

Lospolinomios con sólo un término se llaman monomios; con dos, binomios; con tres, trinomios; etcétera. Se conoce por grado de un polinomio el mayor exponente al que se eleva la variable.
Igualdad de polinomios: Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes de igual grado, son iguales.
Aunque los polinomios pueden tener varias variables en diferentes términos, en este apunte sólose tratarán los polinomios que tienen una sola variable indeterminada.
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
P(x) = 0.
POLINOMIO CONSTANTE
Si los coeficientes de P(x) cumplen con

El polinomio resultante es P(x) =  a0  y se lo llama polinomio constante.
Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomarun cuerpo, como  o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio, P, de grado nen la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o términoindependiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llamamónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.
[editar]Polinomios de varias variables
Los polinomios de varias variables son similares a los de una variable. La diferencia es que en ellos cada uno de los monomios puede contener más de una letra de variable. Por ejemplo:

Sonmonomios de varias variables. Más en detalle el último de ellos  es un momonio de tres variables (ya que en él aparecen tres letras x, y y z), el coeficientes es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1, ya que xy2z = x1y2z1.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada términode un polinomio por los términos del otro polinomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente. Por ejemplo:

Para poder realizar eficazmente la operación tienes que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

Puede comprobarse que parapolinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios  y  y el polinomio producto :
(*)
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que  (junto con la operación ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.

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