polinomios de legendre

POLINOMIOS DE LEGENDRE

En matemáticas, exactamente en ecuaciones diferenciales ordinarias, las funciones de Legendre son las soluciones de las ecuaciones diferenciales de Legendre:



Llamadas así, en honor del matemático francés Adrien-Marie Legendre. Estas ecuaciones se encuentran frecuentemente en Física. En particular, aparecen cuando se resuelve la ecuación de Laplace (un tipo deecuación en derivadas parciales) en coordenadas esféricas mediante el método de separación de variables.

La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias. En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonalesllamados Polinomios de Legendre.

Cada polinomio de LegendrePn(x) es un polinomio de grado n. Éste puede ser expresado usando la Fórmula de Rodrigues:



Una Expresión explícita

Desarrollando la fórmula de Rodrigues se obtiene la siguiente expresión para los Polinomios de Legendre



Esta expresión es útil en caso de por ejemplo de querer elaborar un programa que grafique los polinomiosde Legendre, de ésta expresión es relativamente fácil obtener una para los polinomios asociados de Legendre, que aparecen en la resolución de problemas como, por ejemplo, el átomo de hidrógeno.

La propiedad de ortogonalidad

Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que éstos son ortogonales con respecto al producto escalar definido en L2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1:(Dondeδmn denota la delta de Kronecker, igual a 1 si m = n y 0 para otros casos). De hecho, una derivación alternativa de los polinomios de Legendre es llevando a cabo procesos de Gram-Schmidt en los polinomiales {1, x, x2,...} con respecto a un producto interno. La razón de esta propiedad de ortogonalidad es que la ecuación diferencial de Legendre puede ser vista como un problema de Sturm-LiovilleDonde los valores propios λ corresponden a n(n+1).

Ejemplos de polinomios de Legendre

Unos pocos primeros polinomios de Legendre:

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Los gráficos de estos polinomios (menores a n=5) se grafican abajo:

Aplicaciones de los Polinomios de Legendre en Física

Los polinomios de Legendre, igual que los de Hermite y Laguerre,son útiles en ramas de la Física. Y en el Cálculo numérico ya que permiten el cómputo de integrales definidas sin necesidad de usar fórmulas analíticas, tan sólo fijando como intervalo de integración [ -1 ; +1] (con el correspondiente cambio de variable). Esto es especialmente interesante en programas de cómputo que tratan de resolver una integral definida.
Los polinomios de Legendre son útilesen el desarrollo por serie, de funciones como



Dondey son las longitudes de los vectores y respectivamente y es el ángulo entre los dos vectores. La expansión mantiene . Esta expresión esta usada, por ejemplo, para obtener el potencial de una carga puntual, que se siente en un punto mientras la carga esta localizada en el punto . La expansión usando polinomios de Legendre puede ser útil paraintegrar esta expresión sobre una carga continua distribuida.

Los polinomios de Legendre aparecen en la solución de una Ecuación de Laplace de un potencial, , en una región del espacio de carga libre, usando el método de separación de variables, donde las condiciones límite tienen simetría axial (no depende del ángulo azimuthal). Donde es el eje de simetría y es el ángulo entre la posición delobservador y el eje , la solución del potencial podría ser



yestán determinados de acuerdo con las condiciones límite de cada problema.[]

Polinomios de Legendre en el desarrollo multipolar



Los polinomios de Legendre son también útiles en la expansión de funciones de la forma (esto es similar al caso anterior, escrito un poco diferente):



Que aparece naturalmente en el...