polinomios de legendre

Demostracion de los polinomios de legendre mediante la formula de rodriguez
Z 1
2
2
Pn (x) dx =
2n + 1
1
con n = 0; 1; 2; 3; :::
recordando

1

Pn (x) =

2n n!

dn
x2
dxn

n

1luego

Z

Z

Z

1
2
Pn (x) dx =
1

1
2
Pn (x) dx =
1

1
2

(2n n!)

Z

1

1 dn
x2
2n n! dxn

1
1
1

dn
x2
dxn

n

1

1

:

n

2

dn
x2
dxn

1n

dx

integrando por partes
u=

dn
x2
dxn

n

1

dn
x2
dxn

dv =

; du =
n

1

dn+1
x2
dxn+1

;v =

dn
dxn

1

1

x2

1

n

1

dx
n

luego
Z

12
Pn (x) dx =
1

1
2
(2n n!)

dn
x2
dxn

1

n

dn
dxn

1

x2

1

1

n 1

j

1

+

Z

1
1

dn+1
x2
dxn+1

despues de evaluar entre 1 y -1 vemos que eltermino se anula lo que reduce
la expresion a tan solo esto
Z

1
2
Pn

(x) dx =

1

1
2
(2n n!)

Z

1
1

dn+1
x2
dxn+1

1

n

dn
dxn

1
1

x2

1

continuando laderivacion n-1 vez nos queda
du =

d2n
x2
dx2n

v = x2

1
1

n

dx

n

asi
Z

1
2
Pn (x) dx =
1

1
2

(2n n!)

Z

1

x2
1

1

1

n

d2n
x2
dx2n

1

ndx

n

dx

1

n

dn
dxn

1
1

x2

1

n

dx

n

si se expande el factor x2 1 se tendra como mayor potencia de x a x2n
n
d2n
que derivando 2n veces resulta dx2n x2 1 dx =(2n)!
entonces

Z

1
2
Pn (x) dx =
1

esto es equivalente
Z
la integral

R1

1

1
2
(2n n!)

1
2
Pn (x) dx =
1

x2

1
Z

n

Z

(2n)!
2

(2n n!)

1

(2n)! x21

n

1

Z

1

x2

1

n

1

se puede resolver mediante tablas siendo

1

x2

n

1

=

1

d(n + 1) d
3
d n+ 2

1
2

recordando algunos propiedades de la funciongamma siendo d
3
1
para el d n + 2 = n + 1 d n + 2
2
y esto se reduce por la propiedad de los factoriales a
p
n!

1
2

=

p

y

p

(2n+1)!
22n+1 :n!

haciendo multiplicacion...