Polinomios de taylor

5. POLINOMIOS DE TAYLOR

La serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Establece que cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio.

Si la función f(x) y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función estádado por:

[pic] (5.1)

[pic]

Donde Rn es el residuo o error de truncamiento que se comete en la serie de Taylor y se obtiene como el valor no nulo de la función que se está aproximando.

La ecuación (5.1) se llama serie de Taylor ó fórmula de Taylor. Si se omite el residuo, el lado derecho de (5.1) es la aproximación del polinomio de Taylor para f(x). Si x = 0 en la ecuación (5.1) seobtiene la llamada Serie de Mc Laurin.

5.1 Comandos y funciones MatLab para analizar y desarrollar la Serie de Taylor

A continuación se presentan los comandos y funciones empleados en MatLab 7.0 para aplicar y simplificar los cálculos y expresiones de la Serie de Taylor.

|Función |Descripción|
|syms x y z … t |Convierte las variables x,y,z,…t en simbólicas. |
|r = taylor( f ) |Halla el desarrollo de Mc Laurin de orden 5 para la función f en la variable por defecto. |
|r = taylor( f, n, v ) |Halla el desarrollo de Mc Laurin de orden n -1 para la función fen la variable v. |
|r = taylor( f, n, v, a ) |Halla el desarrollo de Taylor de orden n -1 para la función f en la variable v en un entorno del punto|
| |a. |
|pretty(exp.) |Convierte la expresión simbólica aescritura matemática. |
|simplify(S) |Simplifica cada elemento de la matriz o expresión simbólica S. simple muestra los procesos; simplify |
|simple(S) |solo muestra el resultado |
|double(x) |Convierte lavariable o expresión x a valor numérico de doble precisión. |
|syms x, int(f(x), x) ó |Calcula la integral indefinida[pic] |
|int(‘f(x)’,’x’) | |
|syms x a b, int(f(x),|Calcula la integral definida [pic][pic] |
|x, a, b) | |

Ejemplo 5.1. Para la siguiente función obtener el polinomio por defecto y el polinomio de grado N = 10 en un entorno del punto x = 1.[pic] (5.2)

Solución:

Escribiendo las instrucciones en la ventana de comandos de MatLab para resolver la Ec.(5.2) tenemos:

| |
|>> syms x|
|>> f = 1/(2-x); |
|>> polinomio_default = taylor(f) % Se obtiene un polinomio de grado 5 por |
|defecto....