Polinomios de Taylor

Polinomios de Taylor
Algunos ejemplos
W. Poveda
II Semestre 2013
Sea f una funci´n infinitamente derivable en un intervalo I que contiene a x0 . Entonces decimos
o
que
∞

n=0

f (n) (x0 )(x − x0 )n
n!

es la serie de Taylor generada por f (x) alrededor de x = x0 .
Si las serie est´ centrada en x0 = 0 entonces se denomina la serie de Maclaurin de f (x).
a
Problema 1. Determinarel polinimio de Taylor T7 (x) generada por f (x) = sen x centrada
en x = 0.
Soluci´n
o
Paso 1. Calcular algunas derivadas de f (x) = sen x y evaluar en x0 = 0.
f (x) = sen x
f (x) = cos x
f (x)= − sen x
f (x) = − cos x
f (4) (x) = sen x
f (5) (x) = cos x
f (6) (x) = − sen x
f (7) (x) = − cos x

Paso 2. Evaluar las derivadas anteriores en x0 = 0.

1

2

f (0) = sen 0 = 0
f (0)= cos 0 = 1
f (0) = − sen 0 = 0
f (0) = − cos 0 = −1
f (4) (0) = sen 0 = 0
f (5) (0) = cos 0 = 1
f (6) (0) = − sen 0 = 0
f (7) (0) = − cos 0 = −1

De acuerdo con lo que tenemos hasta elmomento
7

n=0

f (n) (0) n
x
n!

f (0) 1 f (0) 2 f (0) 3 f (4) (0) 4 f (5) (0) 5 f (6) (0) 6 f (7) (0) 7
x +
x +
x +
x +
x +
x +
x
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
1
−1 3
1
−1 7
=0+ x+0+x + 0 + x5 + 0 +
x
1!
3!
5!
7!
1
1
1
1
= x − x3 + x5 − x7
1!
3!
5!
7!
= f (0) +

Gr´ficamente:
a

3

Problema 2. Determinar el polinomio de Taylor de grado 10 generado por lafunci´n
o
g(x) = sen(x2 ) alrededor de x = 0.
Soluci´n
o
Por el problema anterior sen x ≈

1
1
1
1
x − x3 + x5 − x7 .
1!
3!
5!
7!

Para determinar el polinomio de Taylor de grado 10generado por g(x) = sen(x2 ) tomamos el
polinomio anterior y en vez de tomar x escribimos x2 :
1 2
x −
1!
1
= x2 −
1!

sen(x2 ) ≈

1 2 3 1 2 5
(x ) + (x )
3!
5!
1 6 1 10
x + x .
3!
5!Problema 3. Determinar el polinomio de Taylor para f (x) = cosh x centrada en x = 0.
Soluci´n
o
∞
∞
xn
xn
x
−x
Sabemos que e =
y e =
(−1)n .
n!
n!
n=0
n=0

4
Entonces
cosh x =...