Polinomios formales

Isabel Arratia Z

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA

GUÍA DE EJERCICIOS N°3

Primer Semestre 2012

Para Cursos de ÁLGEBRA I

Guía de Ejercicios Nº3-B: Polinomios
1.

En cada caso, realice la división entre P(x) y D(x), determine los polinomios cuociente
Q(x), resto R(x) y exprese P(x) en la forma P(x) = Q(x) D(x) + R(x).
a)
b)

P( x ) = x 6 + 6 x 3 − 2 x5 − 7 x 2 − 4 x + 6, D( x ) = x 4 − 3x 2 + 2

c)

P ( x ) = 2a 3 −

d)

P( x ) = x 3 − x 2 + x + 3, D( x ) = x 2 − 2 x + 3

e)

P( x ) = x 3 − 2 x 2 − 7 x − 4, D( x ) = x 2 + 2 x + 1

f)

P( x ) = 25x 4 − 20 x 3 + 4 x 2 − 4, D( x ) = 5x 2 − 2 x + 2

g)

2.

P( x ) = 9a 3 − 18a 2b + 8ab2 + 12ab − 16b 2 ,

P( x ) = 3x 5 − x 4 − 8x 3 − x 2 − 3x + 12, D( x ) = 3x 3 − x 2 + x −4

1
19 2 49
a + a − 1, D( x ) = 6a −
2
4
6

Utilizando la división sintética determine el cuociente y el resto de cada división.
a)

( x 3 − 2 x 2 + 5x + 30) : ( x + 2)

b)

(2 x 3 − x 2 + x − 4) : ( x − 1)

c)

1
(2 x 4 + x 3 + 4 x 2 + 7 x + 4) : ( x + )
2

d)

1
(2 x 4 + x 3 + x 2 + 10 x − 8) : ( x − )
2

e)

( x 4 + 3x 2 − 340) : ( x − 4)

f)
3.

D( x ) =3a − 4b

(3x 3 + 5x 2 + 2 x − 10) : ( x − 1)

Utilizando división, demuestre que el segundo polinomio es un factor del primero; luego
determine el otro factor.
a)

x4 + x3 − x −1

b)

x4 −

3 3
x + 3x 2 + 6 x + 2
2

Universidad Diego Portales – Ingeniería Comercial

x2 − 1
x+

1
2

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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA

c)

x5 + 32

f)
4.

x 5 + x 4 − 16 x − 16

e)

x2 − x − 2

x 4 − x 3 + 2x 2 − 4x − 8

d)

x 5 + x 4 − 16 x − 16

x-2
x+2
x2 + 4

Encuentre el valor de k de manera que el segundo polinomio sea un factor del primero:
a)

x 3 + x 2 − 10 x + k

x-4

b)

x 4 + kx + 10

x+2

c)
5.

GUÍA DE EJERCICIOS N°3

k 2 x 3 − 4kx + 4

x-1

Determine los valores reales de h y kde modo que los binomios x – 3 y x + 2 sean
factores de x 4 − x 3 + hx 2 + kx − 6 .

6.

Determine los valores de los números reales a, b y c tales que ( x − 1)3 sea un factor de
x 4 + ax 3 + bx 2 + cx − 4 .

7.

Demuestre que el polinomio (2a − b) ⋅ x 2 + 4a 2 ⋅ (b − x ) + b 2 ⋅ ( x − 2a ) es divisible por
(x – 2a) y (x – b).

8.

En cada caso, encuentre los valores del númeroreal a de modo que:
a)
b)

9.

x 3 + ax 2 − 10 x + a 2 sea divisible por (x – 2).
2 x 4 − 3x 3 + ax 2 − 9 x + 9 sea divisible por (x – 3).

Determine un polinomio de grado 3 de la forma P( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c tal que al
dividirlo por (x – 2) se obtenga resto 3, al dividirlo por (x – 1) se obtenga resto 2 y al
dividirlo por (x + 1) el resto sea 4.

10. Encuentre un polinomio quetenga por raíces a los números 2 y 3, y que el resto sea 4 al
ser dividido por (x – 4).
11. Determine las raíces reales de los siguientes polinomios:
a)

P( x ) = 3x 4 + 2 x 3 + 8x 2 + 6 x − 3

b)

P( x ) = x 3 − 3x 2 − x + 3

c)

P( x ) =

d)

P( x ) = x 4 − 3x 3 − 20 x 2 − 24 x − 8

1 3 1 2 1
1
x − x − x+
3
2
6
6

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FACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA

e)

P( x ) = x 4 + 3x 3 + 3x 2 − 3x − 4

f)

P( x ) = 2 x 3 + 3x 2 − 4 x + 1

g)

GUÍA DE EJERCICIOS N°3

P( x ) = x 4 − 3x 3 − 23x 2 + 75x − 50

12. Factorice los siguientes polinomios en factores lineales o cuadráticos irreductibles en IR.
a)

f)

x 4 − 13x 2 + 36

b)

2x 3 + x 2 + x − 1

g)3x 4 + 2 x 3 + 11x 2 + 2 x + 8

c)

x4 + 1 + x2

h)

5x 4 − x 3 + 7 x 2 − x + 2

d)

− 3x 3 + 4 x 2 − 14 x − 12

i)

2 x 4 + 13x 2 + 6

e)
13.

3x 3 − 2 x 2 − 3x + 2

2x 2 − 4x + 24

j)

2 x 3 + 3x + 1

Sabiendo que c es una raíz del polinomio P(x), exprese P(x) en factores lineales.
a)

c=2

b)

P( x ) = x 3 − 2 x 2 − 29 x − 42

c = -2

c)

P( x ) = x...