Polinomios ortogonales

EXERCICES SUR LES SUITES DE POLYNÔMES ORTHOGONAUX

Exercice 1 Polynômes orthonormés relativement à une fonction de poids quelconque Soient a et b deux éléments de Soit ω : ]a, b[ → avec a < b.
b 

Cet

exercice d'une

permet unique

d'établir suite de

l'existence

une application continue, strictement positive et telle que : ∀k ∈ , les intégrales
a

polynômes orthonormésrelativement à un produit scalaire donné. Ce résultat sera utilisé dans les exercices suivants.

ω(t ) t k dt existent.

(On dit alors que ω est une fonction de poids sur ]a, b[)

On considèrel'espace vectoriel

[X] des polynômes à une indéterminée et à coefficients réels et l'application : [X] × [X] → =
¡

b
 

(P, Q)

a

P ( t ) Q ( t ) ω ( t ) dt

1) Justifier que l'applicationci-dessus définit bien un produit scalaire sur

[X].

Exemples : justifier que l'on obtient un produit scalaire dans les trois cas suivants : ω(t) = 1 sur ]−1, 1[ ; ω(t) = 1 1− t2 sur ]−1, 1[ ;ω(t) = e −t sur
2

.

(Il suffit d'étudier dans chaque cas si ω est une fonction de poids)

2) Démontrer qu'il existe une unique suite ( Pn ) n∈

de polynômes orthonormés telle que, pour tout n∈

:

• Pn est de degré n • < Pn , X n > > 0 Montrer, de plus, que la famille ( Pn ) n ∈ est une base de [X].

Exercice 2 Polynômes de Legendre

On considère le produit scalaire suivant : < P ,Q > =
On note Pn Pour n ∈

1
¢

Cet exercice établit quelques propriétés

−1

P(t ) Q(t ) dt . (Voir exercice 1)

des polynômes de Legendre et fait le lien entre leur définition usuelle etla suite des polynômes orthonormés

( )n∈

la suite de polynômes orthonormés relative à ce produit scalaire
n 1 dn 2 x − 1 . Il s'agit des polynômes de Legendre. n n 2 n ! dx

obtenus avec unefonction de poids

, on définit Ln(x) =

(

)

égale à 1 (question 6)

1) Préciser le degré de Ln, son coefficient dominant ainsi que sa parité. 2) Montrer que Ln admet n racines...