Polinomios, regla fe ruffini

POLINOMIOS
DIVISIÓN SINTÉTICA : REGLA DE RUFFINI

En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a), y constituye una herramienta importante para resolver límites de la forma indeterminada
0 . 0

Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a)si al reemplazar el valor x por “∓a” en el polinomio, el resultado es cero, es decir ∓a es una raíz del polinomio. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”, y su búsqueda se realiza de acuerdo con el siguiente algoritmo:

ALGORITMO DEL MÉTODO 1. Bajar el primer coeficiente y multiplicar por “la raíz”. Este valor se ubica bajoel 2do coeficiente para sumar o restar según sea el caso 3. Se comprueba la operación con el último coeficiente, la que debe dar cero, caso contrario, buscar otro divisor y volver a intentar 2. Multiplicar el resultado obtenido por el divisor y ubicar bajo el 3er coeficiente y así sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes 4. Si se obtiene cero, entonces ese divisor es el valor de lavariable, por lo que el factor se consigna con el signo contrario, es decir, 0 en x=a, entonces el factor es (X-a)

5. El polinomio se factora entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial tomando los coeficientes resultantes.

Ejemplo 1:

X4 + 6X3 + X2 - 24X + 16

El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16. 16 tiene por divisores ±1, ±2, ±4, ±8y ±16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión, es decir, una raíz del Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para los divisores de 16. Probamos con 2: Para x4 + 6x3 + x2 - 24x + 16, sus coeficientes en orden son 1, 6, 1, 24 y 16.
Primer Coeficiente, multiplicado por la raíz (1*2 = 2) Segundo Coeficiente, multiplicado por la raíz(8*2 = 16)

Posible raíz

1
Se baja directa mente

6 2

1 16 17

-24 34 10

16 20 36

2

1

8
Suma de ambos coeficientes (6+2)

NO
No es raíz, dado que en la operación con el término independiente no es cero

Intentemos con -4:

1

6 -4

1 -8 -7

-24 28 4

16 -16 0

-4

1

2

SI

Coeficientes resultantes para el polinomio reducido (en un grado) Por lotanto -4 es una raíz para el polinomio y su factorización es: (X3 + 2X2 - 7X + 4) (X + 4) Al volver a dividir el polinomio reducido, en el que el término independiente (4), admite como divisores a ±1, ±2 y ±4, considerando el 1, se tiene: 1 2 1 1 3 -7 3 -4 4 -4 0
2

1

SI

Entonces, el polinomio reducido en un grado es X + 3X – 4, y la factorización del polinomio inicial es:

(X2 + 3X - 4)(X - 1) (X + 4) El último polinomio obtenido es un polinomio cuadrático de factorización inmediata: X2 + 3X – 4 = (X + 4) (X - 1) (X-1) (X+4) Por lo tanto la factorización completa del polinomio X4 + 6X3 + X2 - 24X + 16 es: X4 + 6X3 + X2 - 24X + 16 = (X + 4) (X - 1) (X - 1) (X + 4) = (X + 4)2 (X - 1)2

Comprobación: Si -4 es una raíz del polinomio original, entonces al reemplazar este valor enel polinomio. Éste se debe anular, en efecto: x4 + 6x3 + x2 - 24x + 16 = = = (-4)4 + 6(-4) + (-4)2 - 24(-4) + 16 256-384+16+96+16 0

Lo mismo debe ocurrir si consideramos la raíz 1: (1)4 + 6(1) + (1)2 - 24(1) + 16 = 0 x3-3x-2 Se debe cuidar los espacios correspondientes de los exponentes en este caso no existe x2, por lo que en su lugar se consigna cero como coeficiente.

Ejemplo2.

1

0 1-3 1 -2

-2 -2 -4

1

1

1

NO

1

0 -1

-3 +1 -2

-2 +2 0

-1

1

-1

SI

(x2-x-2) (X+1)

El trinomio es de la 2da. Forma

(x-2) (x+1) (x+1) = (X – 2) (X + 1)2 Comprobación: Raíz = -1 x3-3x-2 = = (-1)3 – 3(-1) – 2 -1 + 3 –2 x3-3x-2 = = (2)3 – 3(2) – 2 8–6–2 Raíz = 2

=

0

=

0

Ejemplo3.

x3 + 16x – 5 – 8x2

Ordenamos: x3 – 8x2 + 16x – 5...