POLINOMIOS Y COMPLEJOS ENEP UNAM

Ecuaciones e inecuaciones

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD III
III.1 DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO
A fin de entender la importancia del estudio de los números complejos, brevemente se definirán los
diferentes conjuntos de números y se establecerán las sucesivas ampliaciones como consecuencia de lanecesidad de realizar nuevas operaciones hasta llegar a la insuficiencia de los números reales.
Cuando se habla de conjuntos numéricos se suele comenzar por el conjunto de los números naturales.
Los números naturales N son aquellos que sirven para contar, es decir son:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ⋅ ⋅ ⋅ }
Nótese como el cero no es un número natural y que N es un conjunto infinito. En este conjunto sólo sepueden efectuar las operaciones de suma y producto.
Los números enteros aparecen cuando se necesita hacer restas, cuyos resultados no estén en

N.

De esta manera, los números enteros se definen así:

Z = {x
Esto significa que

x = a − b , a ,b ∈ N }

Z = {⋅ ⋅⋅, − 3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅ }

Este también es un conjunto infinito y en él sólo se pueden efectuar las operaciones de suma, resta ymultiplicación.
Los números racionales surgen cuando se requieren efectuar divisiones, cuyos resultados no estén en Z .
Por ello, los números racionales se definen como:

a

Q=x=
b



a ,b ∈ Z , b ≠ 0


Esto significa que cualquier cociente de números enteros en el que el denominador no sea cero es un
número racional.
Los números racionales también son un conjunto infinito y se puedenescribir como números decimales
periódicos.
Ejemplos de racionales pueden ser:

3 4
, − , 0.35, 0.737373 ⋅ ⋅ ⋅ .
2 7

Con estos números se puede sumar, restar, multiplicar y dividir, pero no se pueden extraer raíces cuyos
resultados estén no en Q , por lo tanto se necesita definir un nuevo conjunto:
Así, los números irracionales, denotados por Q ' son los números decimales que no son racionales. Engeneral, este conjunto de números se puede clasificar como:
1

Ecuaciones e inecuaciones

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM

No trascendentes
Números
irracionales

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

(Aquellos que se obtienen de la extracción de raíces inexactas)

Resultado de la evaluación de funciones trigonométricas,
trigonométricas inversas, logarítmicas y exponencialesTrascendentes
Números especiales como π, e, etc.

2 , 3 21, 5 136 .

Ejemplos de irracionales algebraicos pueden ser:

Ejemplos de irracionales trascendentes pueden ser: sen 32°, tan

−1

0.4367, log10 526, e 4 .

A fin de distinguir a los racionales de los irracionales basta con escribirlos en forma decimal. Son
números racionales aquellos que son periódicos (sus decimales se repiten) o los que tienenun número
finito de decimales. Por su parte, son números irracionales aquellos que poseen cifras decimales infinitas
y que no son periódicos (sus decimales no se repiten).
En los números irracionales se puede sumar, restar, multiplicar, dividir, extraer cualquier raíz de un
número positivo y extraer raíces de números negativos pero de índice impar.
El conjunto de los números reales es el formadopor la unión de racionales e irracionales. Esto es:

R = Q U Q'
En este conjunto se pueden efectuar todas las operaciones, excepto dos: la división por cero y la
extracción de raíces negativas de índice par.
Los números reales presentan insuficiencias cuando se desea extraer raíces negativas en general. Como
consecuencia, se debe definir un nuevo conjunto:
Los números imaginarios son todos aquellosque se obtienen de extraer raíces de índice par a números
negativos. Su unidad es:

i = − 1 y su definición formal es:

{

}

I = x = bi

b ∈ R, i = − 1

Ejemplos de números imaginarios pueden ser: 4i , −

7
i, 0.98i, − 2 .
5

La propiedad fundamental de los números imaginarios es que multiplicando su unidad por si misma se
obtiene un número real. Esto es: i = −1
2

Con esta propiedad se...