Polinomios y division sintetica

Polinomios y División Sintética.
Los polinomios tienen la forma:

Pn ( x)  an xn  an1 xn1  an2 xn2 

 a2 x2  a1 x  a0

Los polinomios, por definición, tienen potencias enteras positivas.
GRADO de un polinomio, es igual al valor del exponente más grande que aparece en el polinomio. COEFICIENTE PRINCIPAL, es el número que multiplica a la potencia que define el grado delpolinomio, se denota como an . TERMINO INDEPENDIENTE, es el número que no está multiplicado por potencias de x, se denota con a0 , si todos los elementos tienen potencias de x, entonces, a0  0 . DIVISIÓN SINTÉTICA: Sirve para evaluar un polinomio en un valor a y para realizar la división sintética entre el binomio lineal x-a. En general se escribe de la siguiente forma: a Todos los coeficientes delpolinomio, incluyendo los que son cero, comenzando con an

Ejemplo: Evaluar el polinomio x3  x2  12 x en x = 2. Sol. El polinomio es de grado 3, así que los coeficientes son desde a3 hasta a0 1. La primera vez, se baja el coeficiente principal. 1 1 2. Después, se multiplica a (en este ejemplo a = 2) por el coeficiente principal y el resultado se escribe debajo del siguiente coeficiente delpolinomio. 3. Ahora, “siempre”, se realiza una suma sobre la columna y se escribe el resultado debajo. −1 −12

2

0

2

1 1

−1 2

−12

0

2

1 1

−1 2 1

−12

0

1 1 −10 −20 Se repite el paso 4, hasta que se haya realizado la suma con el termino independiente. El resultado de la última suma, es el valor del polinomio en x = a. Solución: −20. Este último valor, también se llamaresiduo.
M. en C. en Matemáticas Federico Antonio Huerta Cisneros.

4. Se vuelve a multiplicar a por el resultado de la suma, se escribe el resultado debajo del siguiente coeficiente y se hace la suma.

2

1

−1 2

−12 2

0 −20

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RAÍZ o CERO de un polinomio, es el número (real o complejo) en el que al evaluar el polinomio, se obtiene cero como resultado. Ejemplo:Comprobar que el polinomio x3  x2  12 x tiene un cero en x = 4. Sol. Si 4 es una raíz, entonces, por división sintética con a = 4, la suma sobre la última columna deber cero.

4 Efectivamente, 4 es un cero del polinomio.

1 1

−1 4 3

−12 12 0

0 0 0

Comprobar que x = 0 y x = −3 también son ceros del polinomio.

1

−1

−12

0

1

−1

−12

0

Los ceros del polinomio,son los valores en donde la gráfica del polinomio cruza (o toca) el eje X del plano cartesiano. Un polinomio puede cruzar (o tocar) a lo máximo el eje X tantas veces como su grado.

En la gráfica de polinomio x3  x2  12 x se observa que cruza el eje X en: −3, 0 y 4 Estos valores, fueron las raíces del polinomio.

Teorema Fundamental del Álgebra: Todo polinomio de grado≥ 1 tiene por lo menosuna raíz (real o compleja)

TEOREMA DEL FACTOR: Si el número a (real o complejo) es un cero del polinomio, entonces, el binomio x−a es un factor del polinomio. El polinomio an xn  an1 xn1  an2 xn2   a2 x2  a1 x  a0 puede factorizarce como:  an  x  (r1 ) x  (r2 ) x  (r3 )  x  (rn ) en donde r1 , r2 , r3 ,

, rn son las raíces del polinomio.

Teorema: Un polinomio tienetantos ceros como su grado. Estos puede ser reales, reales repetidos, complejos conjugados y complejos conjugados repetidos. Por ejemplo, el polinomio x3  x2  12 x se factoriza como [ x  (4)][ x  (3)][ x  (0)] simplificando signos la
3 2 factorización es: [ x  4][ x  3]x , es decir, ( x  4)( x  3) x  x  x  12 x

M. en C. en Matemáticas Federico Antonio Huerta Cisneros.

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La división sintética puede utilizarse para verificar si un binomio lineal (con coeficiente 1 en x) es un factor de un polinomio. Para esto, tengamos en mente que el “binomio factor” siempre debe tener la forma x−r, así que: ◊ del binomio x−3, se deduce que la posible raíz es r = 3 ya que 3 es el valor que hace cero al binomio; ◊ del binomio x+123, se deduce que la posible raíz es r...