Polinomios

Desarrollo

1._ Propiedades de la adición de polinomios.

Las propiedades de la adición de polinomios son los atributos o cualidades esenciales de adición de polinomios.

• Propiedad conmutativa
Dados dos polinomios cualesquiera, la propiedad conmutativa establece que el orden de los sumandos no altera el resultado o suma. En términos matemáticos, dados dos polinomios cualesquiera p(x1,x2,…, xn) y q(x1, x2,…, xn), se tiene que:
p(x1, x2,…, xn) + q(x1, x2,…, xn) = q(x1, x2,…, xn) + p(x1, x2,…, xn). Ejemplo:
Dados los siguientes polinomios:
p(x) = 5x2 – 3x + 4; q(x) = - 3x2 + 8x – 7
Si efectuamos p(x) + q(x) = 5 x2 – 3x + 4 - 3 x2 + 8x - 7
p(x) + q(x) = 2 x2 + 5x - 3
Y si sumamos q(x) + p(x)= - 3x2 + 8x – 7 + 5x2 – 3x + 4
q(x) + p(x)= 2 x2 + 5x – 3
Podemos observarque tenemos el mismo resultado.

• Propiedad asociativa
La propiedad asociativa es la que permite agrupar números de una forma conveniente con el fin de simplificar la operación. En términos matemáticos: dados tres polinomios cualesquiera: p(x1, x2,…, xn), q(x1, x2,…, xn) y g(x1, x2,…, xn) se tiene que
[p(x1, x2,…, xn) + q(x1, x2,…, xn)] + g(x1, x2,…, xn) = p(x1, x2,…, xn) + [q(x1, x2,…, xn) +g(x1, x2,…, xn)]. Ejemplo:
Dados los siguientes polinomios:
p(x, y)= x3y – y4 + xy3; q(x, y)= -2x2y2 + 4xy3 + 2y4; g(x, y)= 5x3y – 6x2y2 + 4xy3 – y4
Asociamos los dos primeros sumandos
[p(x, y) + q(x, y)] + g(x, y)
[(x3y – y4 + xy3) + (-2x2y2 + 4xy3 + 2y4)] + (5x3y – 6x2y2 + 4xy3 – y4)
(x3y -2x2y2 + 5 xy3 + y4) + (5x3y – 6x2y2 + 4xy3 – y4)= 6x3y – 8 x2y2 + xy3
O bien asociamos los dossegundos sumandos
p(x,y) + [q(x,y) + g(x,y)]
(x3y – y4 + xy3) + [(-2x2y2 + 4xy3 + 2y4 + 5x3y – 6x2y2 + 4xy3 – y4)]
(x3y – y4 + xy3) + (5x3y -8 x2y2 + y4) = 6x3y – 8 x2y2 + xy3

• Elemento neutro de la adición de polinomios.
El elemento neutro de la adición de polinomios es el polinomio nulo, que adicionado con cualquier sumando da como resultado suma el mismo sumando. En términosmatemáticos: sean P(x1, x2,…, xn) un polinomio y 0 (x1, x2,…, xn) el polinomio nulo, entonces, p(x1, x2,…, xn) + 0 (x1, x2,…, xn) = p(x1, x2,…, xn).
Existe el polinomio nulo en el cual todos los coeficientes son cero, de tal forma que 0= 0xn + 0xn-1 + 0xn-2 +… + 0x + 0, donde n Є N. Observe el siguiente ejemplo:
A. x2 + 3x – 7 + 0x2 + 0x + 0 = x2 + 3x – 7

• Elemento simétrico de la adición depolinomios.
Dado un polinomio cualquiera p(x1, x2,…, xn) existe el polinomio -p(x1, x2,…, xn) denominado el simétrico de p(x1, x2,…, xn) u opuesto a p(x1, x2,…, xn), que satisface p(x1, x2,…, xn) + [-p(x1, x2,…, xn)]= 0. Ejemplo:
A. 3x2 – 5x + 7 + (-3x2 + 5x - 7)= 0x2 + 0x + 0 = 0

2._ Combinación de adición y sustracción de polinomios.
Consiste en aplicar las técnicas empleadas en la suma yresta de polinomios de forma conjunta o simultanea. Consideremos el siguiente ejemplo:
A. resta la suma de 6x4y2 + 5x2y4 – 4y6 – 7x6 + 2x2y4 – 10y6, de la suma de 4x6 + 7x2y4 – 5y6; -3x4y2 – 3x2y4 + 5y6
• Efectuamos la primera suma, que será el sustraendo:
6x4y2 + 5x2y4 – 4y6
-7x6 + 2x2y4 – 10y6-7x6 + 6x4y2 + 7x2y4 – 14y6
• Efectuamos la segunda suma, que será el minuendo, es decir:
4x6 + 7x2y4 – 5y6
- 3x4y2 – 3x2y4 + 5y6
4x6 - 3x4y2 + 4 x2y4

• Ahora realizamos la resta solicitada colocando el simétrico del sustraendo debajo del minuendo y reduciendo a términos semejantes, es decir:4x6 - 3x4y2 + 4 x2y4
7x6 - 6x4y2 - 7x2y4 + 14y6
11x6 -9 x4y2 -3 x2y4 + 14y6

3._ Cuadrado de un binomio, producto de la forma (X + a)2.
Resolvamos en forma convencional los siguientes productos:
A. (x + 2)2 = (x + 2) (x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4
B. (x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9
En cada uno de...