Polinomios

´ Universidad Andres Bello Facultad de Ingenier´ ıa ´ y Construccion Civil ´ Departamento de Matematicas

´ Algebra (FMM013) Gu´ 1 ıa Polinomios:
1. Determine el grado de los siguientes polinomios en R[x]: a) Q(x) = 10 b) Q(x) = 3x2 + 5x + 1 c) Q(x) = 1 x3 + 1 3 2. Considere el polinomio p(x) = x2 +x perteneciente a Z2 [x]. Calcule p(0) y p(1). Deduzca que p(x) no es el polinomio nulo en Z2[x], pero s´ es la funci´n nula. ı o 3. Realize las siguientes multiplicaciones de polinomios en R[x]: a) (m4 − 3m2 + 4)(3m2 − 2m + 1) = b) (3an−1 + an − 2an−2 )(an − an−1 + an−2 ) = c) d ) (a − 5)(am − 3am−1 + 5am−3 = 4. Reducir las siguientes expresiones: a) x(a + x) + 3x(a + 1) − (x + 1)(a + 2x) − (a − x)(a − x) = b) [3(x + 2) − 4(x + 1)][3(x + 4) − 2(x + 2)] = 5. Considere p(x) = 2x4 + x3 − 2x2+ 1 ∈ R[x]. Calcule p(−3), p(−2), p(−1), p(0), p(1/2), p(1) y p(2). 6. Encuentre a y b tal que los polinomios p(x) y q(x) ∈ R[x] sean iguales: a) p(x) = x3 + (a + b)x2 + 7x − 5, q(x) = x3 + 8x2 − (a − 2b)x − 5. b) p(x) = −x4 + (a − b)x3 + 8x2 + x − 1, q(x) = −x4 + 6x3 + (2a − b)x2 + x − 1 7. Encuentre a y b para que p(x) ∈ R[x] verifique las condiciones dadas: a) p(x) = x3 + ax2 + 6x + b, p(0) = 1,p(1) = 5. b) p(x) = x4 − 2x3 − ax2 − b, p(0) = −1, p(1) = 8.
3 2 x 2 2

+ 1x − 4

2 5

2x3 − 1 x + 2 = 3

8. Realice las siguientes divisiones: a) (x3 − 8x2 + 15x − 8) : (x − 1) b) (x3 − 4x2 − 32x + 65) : (x + 5) c) (28x3 − 41x2 + 63x − 36) : (4x − 3) d ) (3x4 − 7x3 + 14x2 + 17x − 7) : (3x2 + 2x − 1) e) (a5 − a4 + 10 − 27a + 7a2 ) : (a2 + 5 − a) f ) (x15 + y 15 ) : (x3 + y 3 ) g) (x2a+5− 3x2a+3 + 2x2a+4 − 4x2a+2 + 2x2a+1 ) : (xa+3 − 2xa+1 )
1 h) ( 3 x5 + 2 x4 − 4 37 3 x 40

+ 2 x2 + 3

19 x 30

− 4 ) : (2x3 − 1 x + 2) 5 3

9. Encuentre el valor de k para que: a) x3 − 7x + 5 sea factor de x5 − 2x4 − 4x3 + 19x2 − 31x + 12 + k. b) (2x3 − 5x2 + kx + 8k) sea divisible por x + 2. c) El resto de dividir 2x3 + 2kx2 − 3x + 5 por x + 3 sea igual a 10. 10. Al dividir un polinomioentre x − 6 se obtiene cociente x2 + x + 1 y resto −4. Encuentre el dividendo. 11. Si se divide x2 − 5x + 5 por x − c se obtiene resto −1. Encuentre los posibles valores de c. 12. Factorice en factores lineales el polinomio 4x3 + 4x2 − x − 1 sabiendo que x + 1 es un factor. 13. Encuentre Q(x) y R(x) tal que P (x) = Q(x)D(x) + R(x), con P (x) = x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 y D(x) = x3+ x2 + x + 1. 14. Encuentre el resto R(x) obtenido al dividir el polinomio P (x) entre x2 − 1, sabiendo que P (−1) = 4, P (1) = 0. 15. Encuentre el resto R(x) obtenido al dividir el polinomio P (x) entre x2 − 8x + 15, sabiendo que P (3) = 3, P (5) = 5. 16. Resuelva, para la variable x, las siguientes ecuaciones: a) 6x2 − 13x + 6 = 0 b) 6x2 + 5x = 1 c) abx2 + (a2 − 2b2 )x = 2ab d ) (6x − 5)(5x − 4)− (4x − 3)(3x − 2) = 22 e) (2x − 3) : 7 = (2x + 2) : (3x + 2) f)
7x−5 10x−3

=

5x−3 6x+1

g) ax3 − (a − 1)2 x2 − (2a2 − a + 2)x + 2a = 0 h) 9x + i) j) √
√ 2x+ x+3 27 45 x

= 86 = √
5 √ 2x− x+3

2x + 1 −

2x − 4 =

√

2x − 7

k ) 8x4 + 10x2 = 3 l ) (2x − a)2 = b(2x − a) + b2 √ √ 5 5 m) 3 x4 − 5 x2 = 2 n)
3x−4 x−5

+

x−5 3x−4

=

5 2

17. Factorize los siguientespolinomios: a) x3 − 5x + 4 b) x3 − 3x2 + 2 c) x3 + 4x2 − 27x − 90 d ) x4 − x3 − 5x2 + 3x + 6 e) x4 − 5x3 − 4x2 + 44x − 48 f ) x4 − 6x3 + 13x2 − 12x + 4 g) x5 − 3x4 − 5x3 + 15x2 + 4x − 12 h) x5 + 17x4 + 2x3 − 58x2 − 99x − 45 18. Encuentre el valor del par´metro k para que en el polinomio x2 − 2(k + 1) + 2k + 1 a ıces a) El producto de sus ra´ sea igual a 3. b) La suma de sus ra´ sea igual a 6. ıces19. Sean α y β las ra´ ıces de la ecuaci´n 3ax2 − 6bx + 4c = 0. Encuentre el valor de las o siguientes expresiones en funci´n de a, b y c. o a) b) d)
1 α

+

1 β 1 β

α+
1 α2

β+

1 α

c) α2 β + αβ 2 +
1 β2

20. Encuentre el valor de m para que la ecuaci´n x2 + 2(m + 2)x + 9m = 0 tenga ra´ o ıces iguales. 21. Encuentre los valores de k para que la ecuaci´n (k − 1)x2 + 4x − 5 =...