polinomios

POLINOMIOS
Alguna vez en la escuela media, en clases de Física, hemos visto expresiones tales como
st = v t + s0 que representa la relación posición (s) de un móvil, que se desplaza en movimiento rectilíneo uniforme, en función del tiempo (t). O del movimiento uniformemente variado, donde la expresión utilizada es st = s0 + v0 t + 1/2 a t2.
En Economía, suele utilizarse expresiones como C =600x2 + 320x +150 que representa, por ejemplo, el costo total de construir un depósito de materiales.
Es necesario, entonces estudiar las expresiones de la forma:
(1)
que llamaremos polinomios, donde los se llaman coeficientes y son números reales o complejos (nosotros sólo trabajaremos con reales); x es la variable o indeterminada y los exponentes de la variable x son todos enterosno negativos.
Actividad
Indicar cuáles de estas expresiones son polinomios reales (con coeficientes reales)
a) b) c)
d) e) f)
g) 10 h) i)
Al conjunto de todos los polinomios en la variable con coeficientes reales lo simbolizaremos [x].
En la expresión (l) el coeficiente es el término independiente, y el coeficiente es el coeficiente principal, si0.
Si 0, y =0 para todo diremos que es el grado de P(x) y escribiremos .
Si = 1 el polinomio se llama mónico.
Por ejemplo, en el grado es 3; es de grado 1; es de grado 7 y es de grado 0.
El polinomio nulo es aquél donde todos los coeficientes son 0. No está definido el grado del polinomio nulo.
Según el número de términos con coeficientes no nulos, elpolinomio se llama monomio, binomio, trinomio, ... .
En el ejemplo precedente, es un monomio, es binomio, y son trinomios.
Actividad:
Ejemplificar: a) binomio de tercer grado b) monomio de quinto grado
c) trinomio de cuarto grado d) monomio de grado cero

Definición:
Dados dos polinomios y decimos que son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual gradoson iguales.
Por ejemplo Al polinomio del segundo miembro se lo llama completo, porque siendo de grado 5, se escriben todos los términos de grado igual o menor que 5 colocando coeficiente 0 en los términos que faltan.
Actividad
Determinar los valores de y para que
a) = ;

b) ;

Operaciones con Polinomios
Veremos las operaciones con polinomios y laspropiedades que éstas verifican.
Adición
La suma del polinomio y el polinomio
donde , es el polinomio:


Ejemplo: ;


En la práctica puede adoptarse esta disposición en la que se encolumnan los términos de igual grado (llamados términos semejantes)



Para poder enunciar alguna conclusión sobre el grado del polinomio suma sugerimos resolver, con
; ;
y........................................................................ .............
........................................................................ .............
........................................................................ .............
En estos ejemplos podemos observar que:
El grado del polinomio suma es menor o igual que el grado del polinomio de mayor gradoque estamos sumando.
La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números.
Actividad:
Dados los polinomios ; y

I) Verificar que a) la suma de polinomios es conmutativa; b) la suma de polinomios es asociativa.
II) ¿Existe elemento neutro para la suma de polinomios? ¿Cuál es?
III) ¿Todo polinomio tiene un opuesto, o inverso aditivo? Recordar que para todopolinomio existe otro tal que da por resultado el polinomio nulo. Se dice que es el opuesto de y se lo representa como . Hallar, entonces, los opuestos de y
Sustracción
Dados los polinomios y , efectuar la sustracción (resta o diferencia) entre y equivale a sumar a el opuesto de .
Por ejemplo: Si y
Entonces:
por lo tanto:

Actividad
1) Dados ,...