POLINOMIOS

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.

Recuerda:
Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a ⋅ x n tal que a es un número real y n
es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se lama grado del monomio.
Ejemplo: 4 x 3 es un monomio en la variable x de grado 3 y coeficiente 4.
Un polinomio es la suma de dos o más monomios. Los binomios son suma de dos monomios ylos
trinomios son suma de tres monomios.
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
Ejemplo: − 2x 4 + 3 x 2 + x − 4 es un polinomio de grado 4 y de coeficientes ( −2, 0, 3, 1, − 4) el
coeficiente principal es –2 y el término independiente es −4
Monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal.
Operaciones de polinomios:
Sumamos polinomiossumando los monomios semejantes.

Multiplicamos polinomios multiplicando cada monomio de uno de los factores por todos los
monomios del otro factor y después sumamos los monomios semejantes.
Dividir dos polinomios A( x ) : B( x ) es determinar dos polinomios Q( x ) cociente y R( x ) resto tales
que cumplan:
a) A( x ) = B( x ) ⋅ Q( x ) + R( x ) dividendo es igual a divisor por cociente más elresto.
b) grau R( x ) < grau B( x ) grado del resto es menor que el grado del divisor.
Grado(cociente)=grado(dividendo)−grado(divisor)
Una división es exacta si el resto es cero R(x)=0

Valor de un polinomio A( x ) para x = a es sustituir el valor x del polinomio por el número real a.
Se representa por A(a)
Ejemplo:
A( x ) = 3 x 3 + 2x 2 − 4 x + 1
A( −2) = 3 ⋅ ( −2) 3 + 2 ⋅ ( −2) 2 − 4 ⋅( −2) + 1 = −24 + 8 + 8 + 1 = −7
Teorema del Resto:
El resto de dividir el polinomio P(x) entre el monomio x − a es igual al valor numérico del
polinomio para x = a , es decir P(a).
Teorema del factor.
Un polinomio P(x) es divisible por el monomio x − a si y sólo si el valor numérico del polinomio
para x = a , es cero P(a) = 0

Método para dividir polinomios con una variable.
Se ordenael dividendo y el divisor según las potencias decrecientes de la variable.
Dividimos el término primero del dividendo entre el término primero del divisor, para obtener el
primer término del cociente.
Multiplicamos el divisor por el primer término del cociente y le restamos al dividendo el resultado
anterior para conseguir el primer resto parcial.
Repetimos el procedimiento haciendo ahora dedividendo el primer resto parcial.
La división finaliza cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor.

Ejercicios de autoaprendizaje.
Ejercicio 1:
Divide
6 x 5 + x 4 + 4 x 2 − 7 x + 1 : 2x 2 + x − 3

(

6x 5

)(

+ x4

− 6x 5 − 3x 4
− 2x 4
2x 4

)

+ 9x 3
+ 9x 3 + 4x 2
+ x 3 − 3x 2
10 x 3
− 10 x 3

2x 2

+x

−3

3x 3

− 7x + 1

+ 4x 2

− x2+ 5x

−2

− 7x + 1

− 7x + 1
+ x2
2
− 5 x + 15 x
− 4x 2 + 8x + 1
4 x 2 + 2x − 6

10 x − 5
El cociente es: 3 x 3 − x 2 + 5 x − 2
El resto es: 10 x − 5
Comprobación:
Notemos que grau(10 x − 5) < grau(2x 2 + x − 3)

(

)(

)

Podemos probar que 2x 2 + x − 3 ⋅ 3 x 3 − x 2 + 5 x − 2 + (10 x − 5) = 6 x 5 + x 4 + 4 x 2 − 7 x + 1
Efectuemos la multiplicación:
+ 5x
−2
3x 3
−x2
2
−3
+x
2x

+ 3x
− 2x 4

4

6x

5

6x 5

+ x4

− 9x 3
− x3
+ 10 x 3

+ 3x 2
+ 5x 2
− 4x 2

− 15 x

+ 4x 2

− 17 x

+6

− 17 x
10 x
− 7x

+6
−5
+1

Efectuemos la suma:
6x 5 + x 4
+ 4x 2
6x 5

+ x4

+ 4x 2

+6

− 2x

Ejercicio: Regla de Ruffini.

División de un polinomio P(x) entre un monomio de la forma x − a
Efectúa la siguientedivisión: − 3 x 5 + 4 x 3 − 5 x + 1 : ( x − 2)

(

)

4

1

En la primera fila colocamos los coeficientes del
dividendo ordenados según las potencias
decrecientes.

−3
2
−3

2

Término
independient
e del divisor
cambiado de
signo

0
−6
−6

3
Coeficiente
principal del
dividendo

4
− 12
−8

5

0
− 16
− 16

Suma de los
números superiores.

Los números de la...