Polinomios

si tenemos dos polinomios

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
(P(x) )(Q(x)) = (2x2 − 3)(2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x = 
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x 
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomiosque se multiplican
1 término × 1 término   (monomio por monomio)
Para multiplicar un término por otro, primero multiplica las constantes, después multiplica cada variable y combina el resultado, así (pulsa el botón):


(Nota: he usado "·" para indicar la multiplicación. En álgebra no nos gusta usar "×" porque se parece mucho a la letra "x")
1 término × 2 términos   (monomio por binomio)Multiplica el término que está solo por los otros dos términos, así:


2 términos × 1 término   (binomio por monomio)
Multiplica cada uno de los dos términos por el que está solo, así:


(Hice este un poco más rápido porque multipliqué de cabeza antes de escribir)

2 términos × 2 términos (binomio por binomio)

Cada uno de los dos términos en el primer binomio
se multiplica por
Cada unode los dos términos del segundo binomio
Eso son cuatro multiplicaciones diferentes... ¿por qué?
¡Es lo mismo cuando multiplicamos binomios!
En lugar de Alicia y Bea, usamos a y b, y Carlos y David pueden ser c y d:

Puedes multiplicarlos en cualquier orden siempre que cada uno de los dos primeros términos se multiplique por cada uno de los dos segundos términos.
Aquí tienes una manera deacordarte de todas las multiplicaciones. "PIES" significa "Primeros, Interiores,Exteriores, Segundos":

Primeros: ac
Interiores: bc
Exteriores: ad
Segundos: bd
Así que multiplicas los "Primeros" (el primer término de cada polinomio), después los "Interiores", etc.
Probemos con un ejemplo más complicado:

2 términos × 3 términos (binomio por trinomio)
"PIES" no funciona aquí, porque ahorahay más términos. Así que recuerda:
Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio


Polinomios
Un polinomio es así:

Están hechos de:

constantes (como 3, -20, o ½)

variables (como x e y)

exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc
Que se pueden combinar usando:
+ - ×
sumas, restas y multiplicaciones...
 
 ... ¡perono divisiones! 
 Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos! ¿Son polinomios o no?

Estos son polinomios:
3x
x - 2
3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5
Y estos no son polinomios
2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...)
Pero esto sí está permitido:x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)
también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)
Monomios, binomios, trinomios
Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:

¿Cómo te aprendes los nombres? 
¡Piensa en bicicletas!

(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan poco)
Muchos términos
Lospolinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.
¿Qué tienen de especial los polinomios?
Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.
Por ejemplo sabemos que:
Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio
Si multiplicas polinomios te sale un polinomio
Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un polinomioal final.
Grado
El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.
Ejemplo: El grado es 3 (el mayor exponente de x)
Para casos más complicados, lee Grado (de una expresión).
Tema: 8.8. División de monomios y polinomios.
Objetivo:
Explicar y ejemplificar cómo se realiza una división algebraica de monomios y polinomios.
        Para llevar a cabo una...