Polinomios

Capítulo 1

Inducción Matemática

1

Capítulo 2

Polinomios
2.1 Introducción

Los polinomios aparecen en distintas áreas (economía física, ingeniería, biología, etc) y nos lleva al siguiente problema: tratar de determinar los ceros de dicho polinomio.

2.2

Una aplicación

Considere tres tanque cada uno conteniendo V galones de salmuera. Los tanque se encuentran conectados talcomo se muestra la …gura (2.1) y todos los caños se encuentran abiertos a la
gal vez. Agua fresca se bombea de la parte superior del primer tanque a una tasa de r seg ; gal r seg sale de la parte inferior y ‡ uye al siguiente tanque, y asi hasta el último tanque, estan gal entrando y saliendo r seg en cada tanque

Grá…co 2.1: Tanques conectados

2

xi (t) denota el número de Kg. de sal enel tanque i en el instante t, y sea C B x (t) = @ x2 (t) A x3 (t) 0 xi (t) 1 B x0 (t) = @ 0 0
dx1 dt dx2 dt dx3 dt

y

1 C A 1

Asumiendo que en cada tanque se produce una mezcla completa y continua, se prueba que dx = Ax dt r B @ 1 V 0 1 0 1 1 0 C 0 A 1

donde

A=

y que la solución fundamental de este problema es X (t) = exp (At) ¿donde aparecen los polinomios? pues bien una forma dehallar la exponencial de una matriz es usando la diagonalización si existe o sino la forma canónica de Jordan de la matriz A 0 1 0 1 1 0 1

A=

para ello, se suele encontrar las raices del siguiente polinomio p ( ) = det (A I) =
3

1 B @ 1 10 0

C 0 A 1

+

3 10

2

+

3 1 + 100 1000

cuyas raíces son conocidas como los valores propios de la matriz A p( ) = cuya raiz es 1 (10+ 1)3 1000

= 1=10 (multiplicidad algebraica igual a 3)

2.3

Notaciones y De…niciones

En lo que sigue de este capítulo, K denota un cuerpo cualquiera, nosotros nos restringiremos a K = Q; R ó C De…nición 2.1. Se de…ne a los polinomios con coe…cientes en K; a todos los elementos de la forma f = an X n + an y se denota como K [X] De…nición 2.2. Si p 6= 0; denotaremos con gr (p) el gradodel polinomio, esto es el máximo exponente n de los monomios no nulos de p
1X n 1

+

+ a1 X + a0

3

De…nición 2.3. El coe…ciente principal del polinomio es el coe…ciente que acompaña a X gr(p) ; y se denota cp (p) : Si cp (p) = 1 decimos que el polinomio p es mónico De…nición 2.4. Sean f; g dos polinomios en c se dice que g divide a f si existe un polinomio q 2 K [X] talque f = qgDe…nición 2.5. Se dice que 2 K es una raíz o cero de p si p ( ) = 0

2.4

Propiedades Generales

Aquí presentaremos resultados básicos de la teoría de polinomios sin demostración, en el cuerpo K, puesto que la aritmetica de los polinomios con coe…cientes en K es similar a la de los enteros, en cuanto a divisibilidad, algoritmo de la división, factorización y otras más. Teorema 2.1. Dado dospolinomios f; g en K [X] con g 6= 0; existen dos polinomios únicos

q y r en K [X] ; llamados cociente y resto respectivamente, tales que f = qg + r Proposición 2.2. Sean f 2 K [X] y donde r = 0 ó gr (r) < gr (g)

2 K: Entonces )+f( )

f (x) = q (x Consecuencia q 2 K [X] 2 K es raíz de f () f ( ) = 0 () x

divide a f () f = q (X

) para algun

2.5

Raíces Múltiples

Suele ocurrir que unaraíz de un polinomio se repite, por ejemplo el polinomio p (x) = x2 tiene a = 1 como raíz dos veces p (x) = (x De…nición 2.6. Sea p 2 K [X] y 1)2 2x + 1

2 K una raíz de p: Entonces )2 no divide a p; esto es

es una raíz simple de p si y solo si p ( ) = 0 y (x p (x) = q (x) (x es una raíz múltiple de p si y solo si (x )

donde q ( ) 6= 0 )2 divide a p; esto es )2

p (x) = q (x) (x

4es una raíz de multiplicidad igual a k si y solo si (x no divide a p , esto es p (x) = q (x) (x )k

)k divide a p; pero (x

)k+1

donde q ( ) 6= 0

Ejemplo 2.1. El polinomio (x + 1)2 (x + 2) tiene a -1 como raíz doble.

2.6

Relación Entre el Polinomio y su Derivada

Cuando una raíz del polinomio p tiene multiplicidad mayor que 1 y es raíz de p0 (derivada del polinomio p) existe...