Polinomios

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

POLINOMIOS
Ing. Griselda Ballerini
2006

Definición:

Se llama polinomio de grado n o función polinomica de grado n ,en una variable, a toda expresión de la forma:

p(x)= a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + ... + an-1 x + an = [pic]

donde:
ai : coeficientes, los que pueden ser reales o complejos.
an : término independiente.
a0 : coeficiente del términode mayor grado.
xi : variable.
ai xn-i : término del polinomio, llamado monomio.

Grado de un polinomio:

Es el exponente de la variable del término (monomio) de mayor grado.

Ejemplos:

p(x) = 7 x3 - 2 x7 + 4 x2 + 1
p(x) es un polinomio a coeficientes reales de grado 7, término independiente igual a 1, coeficiente del término principal igual a -2.

g(z) = (3-i) z3 - 2 z + (5-3i)
g(z) es un polinomio a coeficientes complejos de grado 3, término independiente igual a (5-3 i), coeficiente del término principal igual a (3-i).

h(x) = 9 x2 + 5 x4 - 3 x9 + 2 x
h(x) es un polinomio a coeficientes reales de grado 9, término independiente igual a 0, coeficiente del término principal igual a -3.

f(x) = 5 x6 - 4 x -2 + 7 x1/2 - 3
f(x) no es un polinomio. Losexponentes de la variable no son naturales.

j(x) = 35
j(x) es un polinomio de grado 0
Observaciones:
1- Los polinomios pueden tener más de una variable, pero éstos no son objeto de este estudio.
2- Los exponentes de la variable deben ser números naturales.

Igualdad de polinomios
Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado, la misma variable y si los coeficientes de los términoshomólogos son iguales.

Ejemplo:

Determinar el valor de k1 para que los siguientes polinomios sean iguales
p(x) = x3 - 3 x2 + x - 3
g(x) = (x-3) (x+ k1) (x+i)

Primero se aplica propiedad distributiva en la expresión de g(x)

(x2 - 3 x+ x k1 - 3 k1)( x+ i) = x3 - 3 x2 + x2 k1 - 3 x k1 + x2 i - 3 x i + k1 i x - 3 k1 i

Se agrupan los términos semejantes

g(x)=x3 + x2 (-3 + k1 + i) + x (-3k1 - 3 i + k1 i) + (-3 k1 i)

Se plantea la igualdad de los polinomios: p(x) = g(x), entonces:

x3 - 3 x2 + x - 3 = x3 + x2 (-3 + k1 + i) + x (-3 k1 - 3 i + k1 i) + (-3 k1 i)

Grado de p(x) = grado de g(x) ( condición necesaria).
Se igualan los coeficientes
El coeficiente en x3 de la expresión de p(x) será igual a su homólogo en la de g(x)
1 = 1
Se procede de igual forma con losrestantes
-3 = -3 + k1 + i (***)
1 = -3 k1 - 3 i + k1 i (**)
-3 = -3 k1 i (*)

de (*)
k1 = 1/i = - i

Verificar el resultado en (**) y (***)

Polinomio nulo

Es aquel donde sus coeficientes son todos iguales a 0.
p(x) = 0 xn + 0 xn-1 + ... + 0 x + 0

Operaciones con polinomios
Se consideran vistas suma, diferencia, producto y cociente.

Repaso de cocienteentre dos polinomios

Dado p(z) y q(z) dos polinomios a coeficientes complejos (recordar que el conjunto de los complejos incluye al conjunto de los reales), si existe C(z) / p(z) = C(z). q(z), decimos que p(z) es múltiplo de q(z) o que q(z) es divisor de p(z).
Si esto no ocurre recurrimos al cociente inexacto y mediante el algoritmo de la división tenemos p(z) | q(z)C(z) p(z): dividendo
r(z) q(z): divisor
C(z): cocienter(z): resto
de donde podemos escribir p(z) = C(z). q(z) + r(z)

Entonces dado p(z) y q(z) existe único par ordenado (C,r) que cumple alguna de estas dos condiciones:
1- p(z) = C(z) . q(z) , en cuyo caso r(z) = 0
2- p(z) = C(z) . q(z) + r(z)

En ambos casos se verifica que:
grado de r(z) < grado de q(z)
grado de...