Polinomios

En matemáticas , se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un producto de un coeficiente y una variable elevado a un número natural, que se llama el exponente del monomio.
Ejemplos de monomios son . El siguiente ejemplo describe en detalle las partes de un monomio. Si consideramos el monomio:

es un monomio con coeficiente 6, variable x y exponente 5. Por tanto, elgrado de este monomio es 5.
El grado de un monomio es su exponente. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En el polinomio, existe el término independiente, que es un monomio que no tiene parte literal o variable, es decir, que no tiene variables o letras que lo acompañen. Algunos ejemplos:
P(x) = 2, polinomio de grado cero.
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 2x2+3x + 2, polinomio de grado dos.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números (o elementos del anillo ) son polinomios de grado cero.

Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por lostérminos del otro polinomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente. Por ejemplo:

Para poder realizar eficazmente la operación tienes que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

Puede comprobarse que para polinomios no nulos sesatisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios y y el polinomio producto :
(*)
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que (junto con la operación ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.

Propiedades
El polinomio pA(t) es degrado n y su coeficiente principal es − 1n. El hecho más importante sobre el polinomio característico ya fue mencionado en el párrafo de motivación: los valores propios de A son precisamente las raíces de pA(t). El coeficiente constante pA(0) es igual a (−1)n veces el determinante de A, y el coeficiente de t n − 1 es igual a -tr(A), la traza de A. Para una matriz A de 2×2, el polinomiocaracterístico se puede expresar como: t 2 − tr(A)t + det(A).
Todos los polinomios reales de grado impar tienen al menos un número real como raíz, así que para todo n impar, toda matriz real tiene al menos un valor propio real. La mayoría de los polinomios reales de grado par no tienen raíces reales, pero el teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio de grado n tiene n raíces complejas, contadascon sus multiplicidades. Las raíces no reales de polinomios reales, por tanto valores propios no reales, aparecen en pares conjugados.
El teorema de Cayley-Hamilton dice que si reemplazamos t por A en la expresión de pA(t) obtenemos la matriz nula: pA(A) = 0. Es decir, toda matriz satisface su propio polinomio característico. Como consecuencia de este hecho, se puede demostrar que el polinomiomínimo de A divide el polinomio característico de A.
Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. El recíproco no es cierto en general: dos matrices con el mismo polinomio característico no tienen porque ser semejantes.
La matriz A y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico. A es semejante a una matriz triangular si y solo si su polinomio característico puedeser completamente factorizado en factores lineales sobre K. De hecho, A es incluso semejante a una matriz en forma canónica de Jordan.

Mas información sobre polinomios:
Son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un término del polinomio.
Grado de un polinomio:
Es el grado del término de mayor grado.
El término de primer grado se llama término lineal....