Polinomios

Polinomios:
Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + ... + a nDonde n Î N (número natural) ; a0, a1, a2, ... , an son coeficientes reales (pertenecientes al conjunto de los números reales) y "x" se denomina coeficiente indeterminado.Grado de un polinomio: está determinado por el término que posee el valor de potencia másalto.Ejemplo:P(x) = x2 + 3x – 4 Polinomio de grado 2R(x) = 3 Polinomio de grado 0Q(x) = x5 + 7 x3 – 2 Polinomio de grado 5M(x) = 0 Polinomio nulo.Valor numérico de un polinomio: es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar, luego, las operaciones indicadas.Ejemplo: sea P(x) = x2 + 3x – 4  hallar  P(2) Þ P(2) = 22 + 3.2 – 4 Þ P(2) = 4 + 6 – 4 Þ P(2) = 6Polinomio opuesto: Dado dospolinomios, se dicen que son opuestos si sus coeficientes, de igual grado, son opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto se ubica un "-" delante del polinomio.Ejemplo: sea P(x) = x2 + 3x – 4 (es opuesto a) - P(x) = - x2 – 3x + 4Igualdad de polinomios: Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes de igual grado, son iguales.Aunque los polinomios pueden tenervarias variables en diferentes términos, en este apunte sólo se tratarán los polinomios que tienen una sola variable indeterminada.Adición De Polinomios: Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términosde igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la operación reuniendo los términos de igual grado y sumarlos o restarlos según su signo.Para sumar P(x) = 3x4 – 5x2 + 7x  con  Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así:P(x) + Q(x) = (3x4 – 5x2 + 7x) + (x3 + 2x2 – 11x + 3) = 3x4 + x3 + x2 (2– 5) + x (7 – 11) + 3 = = 3x4 + x3 – 3x2 – 4x+ 3 La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).Se llama diferencia dedos polinomios, P(x) – Q(x) , al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).Multiplicación De Polinomios: Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Paralos polinomios P(x) = 5x + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4:P(x) . Q(x) = (5x + 11) (x3 + 2x2 + 4) (aplicamos distributiva)P(x) . Q(x) = 5x4 + 10x3 + 20x + 11x3 + 22x2 + 44 (sumamos)P(x) . Q(x) = 5x4 + (10 + 11) x3 + 22x2 + 20x + 44P(x) . Q(x) = 5x4 + 21 x3 + 22x2 + 20x + 44La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa. |
El polinomio unidad es el número 1, puesmultiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso.
La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que:  P(x) · [Q(x) + R(x)] = P(x) · Q(x) +P(x) · R(x)
División de polinomios: Dados dos polinomios P(x) (llamado dividendo) y Q(x) (llamado divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x) ¹ 0 siempre hallaremos dos polinomios C(x) (llamado cociente) y R(x) (llamado resto) tal que: P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el grado de...