Polinomios

1. POLINOMIOS Notemos que si K = Q ó K = R ó K = C, entonces considerando las operaciones usuales de suma y producto en K, se verifican las siguientes propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Para todo a, b ∈ K : a + b ∈ K. Para todo a, b, c ∈ K : (a + b) + c = a + (b + c). Para todo a, b ∈ K : a + b = b + a. Existe un elemento, denotado por 0 ∈ K, tal que a + 0 = a para todo a ∈ K. Paratodo a ∈ K existe un elemento, denotado por (−a) ∈ K, tal que a + (−a) = 0. Para todo a, b ∈ K : a · b ∈ K. Para todo a, b, c ∈ K : (a · b) · c = a · (b · c). Para todo a, b ∈ K : a · b = b · a. Existe un elemento, denotado por 1 ∈ K, tal que a · 1 = a para todo a ∈ K. Para todo elemento no nulo a ∈ K existe un elemento, denotado por a−1 ∈ K, tal que a · a−1 = 1. Para todo a, b, c ∈ K : a · (b + c)= a · b + a · c.

Ahora, supongamos que K es un conjunto cualquiera de por lo menos dos elementos y provisto de dos operaciones: una suma "+” y un producto "·". Si el conjunto K con las operaciones de suma y producto verifica las 11 propiedades anteriores, diremos que (K, +, ·) es un cuerpo o simplemente que K es un cuerpo. En consecuencia, Q, R y C son ejemplos de cuerpos. El lector puedeobservar que si se considera K = Z, donde Z son los números enteros, entonces la propiedad (10) no es válida, y así Z no es un cuerpo. P Definición 1.1. Sea K un cuerpo. Una expresión de la forma n ai xi = a0 + i=0 a1 x + · · · + an xn donde n es un entero no negativo y a0 , a1 , . . . , an son elementos en K, lo llamaremos un polinomio con coeficientes en K en la indeterminada x. Denotaremos por K[x] alconjunto formado por todos los polinomios con coeficientes en un cuerpo K y utilizaremos los símbolos f (x), g(x), . . ., etc., para denotar los elementos de K[x].
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Observación 1.1. Podemos observar que si n ∈ Z+ y a ∈ K, entonces a = a + 0 · x + · · · + 0 · xn ∈ K[x]. En particular, 0 ∈ K[x] y 1 ∈ K[x]. Por lo tanto, K es un subconjunto de K[x]. A continuación definiremos una suma y unproducto de polinomios con coeficientes en un cuerpo K. P P Definición 1.2. Sean f (x) = n ai xi = a0 + a1 x + · · · + an xn y g(x) = n bi xi = i=0 i=0 b0 + b1 x + · · · + bn xn elementos en K[x].

a) Diremos que f (x) = g(x), si y sólo si, ai = bi para todo i ≥ 0. Es decir, dos polinomios son iguales, si sus coeficientes correspondientes lo son. P b) La suma f (x) + g(x) es el polinomio n ci xi , dondeci = ai + bi para todo i=0 Pn i ∈ {0, 1, . . . , n}. Luego, f (x) + g(x) = i=0 (ai + bi )xi , y así f (x) + g(x) es un elemento en K[x].

Pm Pn i ai xi y g(x) = Definición 1.3. Sean f (x) = i=0 bi x elementos en K[x]. P Pn+m i i=0 Definimos f (x)g(x) = i=0 ci x donde ci = k+r=i ak br . Entonces f (x)g(x) es un elemento en K[x]. Para sumar los polinomios f (x) = 1 + x + 2x2 ∈ Q[x] y g(x) = 1 + x ∈Q[x] consideramos g(x) como g(x) = 1 + x + 0x2 y sumamos de acuerdo a la definición. Así, f (x) + g(x) = 2 + 2x + 2x2 . Consideremos K un cuerpo y los polinomios f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ K[x] y g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 ∈ K[x]. Calcularemos el producto f (x)g(x). De acuerdo a la definición f (x)g(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 . Calcularemos los coeficientes c0 , c1 , c2 , c3 y c4 . P P c0= k+r=0 ak br = a0 b0 , c1 = k+r=1 ak br = a0 b1 + a1 b0 , P P c2 = k+r=2 ak br = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 , c3 = k+r=3 ak br = a1 b2 + a2 b1 , P c4 = k+r=0 ak br = a2 b2 . Por lo tanto, f (x)g(x) = (a0 + a1 x + a2 x2 )(b0 + b1 x + b2 x2 ) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 + (a1 b2 + a2 b1 )x3 + a2 b2 x4 . P Definición 1.4. Si f (x) = n ai xies un elemento en K[x] y an 6= 0, entonces i=0 diremos que el grado de f (x) es n. Denotaremos n = gr(f ) o n = gr(f (x)). No definiremos el grado del polinomio cero.
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Podemos observar que para un polinomio f (x) ∈ K[x] se tiene la equivalencia: f (x) 6= 0 ⇔ gr(f (x)) ≥ 0 Los polinomios en K[x] de grado cero son los elementos no nulos del cuerpo K. Teorema 1.1. Si f (x), g(x) son elementos...