Polinomios

ALGEBRA 1- INGENIERIA HERALDO GONZALEZ SERRANO

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GUIA Nº 1: EJERCICIOS DE POLINOMIOS 1) Usando el Teorema del Resto demuestre el enunciado dado, si n ∈ Z + a) x n − a n es divisible exactamente por x + a si n es par b) x n + a n es divisible exactamente por x + a si n es impar c) x n + a n no es divisible exactamente por x + a si n es par d) x n + a n no es divisible exactamente por x − a si nes par 2) En los siguientes ejercicios obtenga el cuociente y el resto usando la división sintética a) ( x 3 + 4 x 2 + 7 x − 2) ÷ ( x + 2) Resp. x 2 + 2 x + 3 , − 8
b) ( x 4 + 2 x 3 − 10 x 2 − 11x − 7) ÷ ( x − 3) c) ( x 6 − x 4 + x 2 − 2) ÷ ( x − 1) Resp. x 5 + x 4 + x + 1 , − 1

1 d) (4 x 4 − 3 x 2 + 3 x + 7) ÷ ( x + ) Resp. 4 x 3 − 2 x 2 − 2 x + 4 , 5 2 3) Demostrar que x − 1 y x + 2 sonfactores de p ( x) = x 4 + 2 x 3 − 7 x 2 − 8 x + 12 y determinar los factores restantes Resp. x − 2 , x + 3
4) Usar la división sintética para hallar el cuociente y el resto al dividir el polinomio 2 x 4 − 5 x 3 + 3 x 2 − x + 3 por 2 x + 1. Sugerencia. Efectuar la división 1 sintética dividiendo por x + y luego dividir el cuociente por 2 2 3 2 Resp. x − 3 x + 3 x − 2 , resto 5 5) Determinar
5 4

a , b,c
3 2

de

modo

que

( x − 3)( x + 1)( x − 1)

sea

factor

de

x − 2 x − 6 x + ax + bx + c Resp. a = 8, b = 5, c = −6
6) Sea p ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c . Al dividir p ( x) tanto por x + 2 como por x + 3 el resto que se produce es cero; pero al dividir por x − 1 el resto es –12. Calcular el valor de A = 14a − 4b + 3c Resp. a = 3, b = −4, c = −12 7) Al dividir un polinomio p ( x) separadamentepor x − 1 y x − 2 se obtiene como resto a 5 y 3 respectivamente. Calcular el resto que se produce al dividir p ( x) por el producto ( x − 1)( x − 2) Resp. − 2 x + 7 8) Comprobar que la ecuación x 4 − 11x 2 − 12 x + 4 = 0 tiene la raíz doble –2 y hallar las restantes raíces Resp 2 ± 3 9) Determine la ecuación mónica de grado mínimo con coeficientes reales que tenga las raíces indicadas –2, -1, 1, 2Resp. x 4 − 5 x 2 + 4
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Ecuación de segundo grado A) Determine el conjunto solución de las ecuaciones:
1) ( x − 3)2 = 2(17 − 3 x ) Resp x1 =-5, x 2 = 5 2) 3)

9 − ( x − 5) 2 = 10( x − 2) Resp. x1 = −2, x2 = 2 ( x + 2) 2 − 2( x + 3)( x − 2) = ( x + 4) 2 Resp. x1 = 0, x2 = −5

B) Resuelvalas siguientes ecuaciones irracionales 1) 3)

x2 + 9 − 5 = 0 9 x +1 + =6 x +1

2) 4)

4− x + x −3 =1 x + 5 + 3 x + 4 = 12 x + 1

6) a + x − a 2 = 2 x − a 2 5) 2 + x + 2 − x = x Resp. 1) -4;4 2) 4;3 3) 8 4) 4 5) 4 6) 5a 2 ; a 2 C) Determine el conjunto solución de las ecuaciones:

24 24 + 1= x + 10 10 − x 11 x + 3 2x − 3 3) 2 + = x −4 2− x x+2
1)

x−2 x2 x −1 − 2 = 1− x+3 x −9 3− x 7x + 2 5 4) − =13x − 2 9x − 6
2)

D) Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

a 2b abx 2 + (a 2 − 2b 2 ) x = 2ab Resp. x1 = − , x 2 = ; a, b ≠ 0 b a
x 2 − 2ax + 8 x = 16a Resp. x1 = 2a, x 2 = −8 2 x 2 − 5cx + 2c 2 = 0 Resp. x1 = 2c, x 2 = c 2

x 2 − 2ax = m 2 − a 2 Resp. x1 = a + m, x 2 = a − m x 2 = a 2 − 10ab + 25b 2 Resp. x1 = a − 5b, x 2 = 5b − a x 2 − (5a + 7b) x + 35ab = 0Resp. x1 = 5a, x 2 = x 2 = 7b 4abx 2 − a 2 b 2 = 2ab 2 x − 2a 2 bx Resp. x1 = b a , x2 = − 2 2 a 2

8)

( x + a ) 2 = 5ax − ( x − a ) 2 Resp. x1 = 2a, x 2 =

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2a + b 2a
a≠0

9)

2ax 2 − bx = 2a + b Resp. x1 = −1, x 2 =

;

3ax 2ax 6 6 1 + = Resp. x1 = − , x 2 = ; a ≠ 0 ax + 2 ax + 1 ax + 25a a a + 5b 2 11) (2a + 3b) x − ( a − 2b) x = a + 5b Resp. x1 = 1, x 2 = − 2a + 3b
10)

Algunas ecuaciones de segundo grado, clásicas 1. El apretón de manos Problema Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión? Solución La cuestión se resuelve con facilidad si recurrimos...