polinomios
Páginas: 5 (1068 palabras)
Publicado: 22 de octubre de 2013
Polinomio
En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos 'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius)12 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta ymultiplicación, así como también exponentes enterospositivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro,como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas comola física, química, economía y las ciencias sociales.
En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicosy geometría algebraica.
Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio seránnúmeros) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma
Un polinomio no es más que una sucesión matemática finita tal que .
Representado como:
el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (otérmino independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.
Polinomios de varias variables
Como ejemplo, de polinomios de dos variables desarrollando los binomios:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión(2) queda de la siguiente forma:
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.
Grado de un polinomio
Sedefine el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
Convencionalmente se define el grado delpolinomio nulo como . En particular los números son polinomios de grado cero.
Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo
Sean lospolinomios: y , entonces el producto es:
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de...
En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos 'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius)12 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta ymultiplicación, así como también exponentes enterospositivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro,como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas comola física, química, economía y las ciencias sociales.
En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicosy geometría algebraica.
Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio seránnúmeros) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma
Un polinomio no es más que una sucesión matemática finita tal que .
Representado como:
el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (otérmino independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.
Polinomios de varias variables
Como ejemplo, de polinomios de dos variables desarrollando los binomios:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión(2) queda de la siguiente forma:
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.
Grado de un polinomio
Sedefine el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
Convencionalmente se define el grado delpolinomio nulo como . En particular los números son polinomios de grado cero.
Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo
Sean lospolinomios: y , entonces el producto es:
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de...
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