Polinomios

Álgebra Lenguaje algebraico Operaciones fundamentales DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división: Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. Así, la operación de dividir 6a² entre 3a, que se indica 6a²÷ 3a o una cantidad que multiplicada por 3a dé 6a2. Esa cantidad (cociente) es 2a. , consiste en hallar

= 3a, donde vemos que si el dividendo se divide entre el Es evidente que 6a² ÷ 2a = cociente nos da de cociente lo que antes era divisor. Ley de los signos: La ley de los signos en la división es la misma que en la multiplicación: Signos iguales dan + y signos diferentes dan -. En efecto: 1. +ab÷ +a = = +b

porque el cociente multiplicado por el divisor tiene que dar el dividendo con su signo y siendo el dividendo positivo, como el divisor es positivo, el cociente tiene que ser positivo para que multiplicado por el divisor reproduzca el dividendo: (+a) x (+b) = +ab. El cociente no puede ser –b porque multiplicado por el divisor no reproduce el dividendo: (+a) x (-b) = -ab. 2. –ab ÷ -a =3. +ab ÷ -a = 4. –ab ÷ +a = = +b porque (-a) x (+b) = -ab = -b porque (-a) x (-b) = +ab = -b porque (+a) x (-b) = -ab

En resumen: + entre + da + - entre – da + + entre – da – - entre + da -

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Álgebra Lenguaje algebraico Operaciones fundamentales Ley de los exponentes: Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se le pone deexponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. Sea el cociente a5 ÷ a³. Decimos que a5 ÷ a³ = = a5-3 = a²

a² será el cociente de esta división si multiplicada por el divisor a³ reproduce el dividendo, y en efecto: a² x a³ = a5. Ley de los coeficientes: El coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.En efecto: 20a² ÷ 5a = 4a 4a es el cociente porque 4a x 5a = 20a² y vemos que el coeficiente del cociente 4, es el cociente de dividir 20 entre 5. Casos de la división: Estudiaremos tres casos: 1) División de monomios. 2) División de un polinomio por un monomio. 3) División de dos polinomios. I. DIVISIÓN DE MONOMIOS De acuerdo con las leyes anteriores, podemos enunciar la siguiente Regla paradividir dos monomios: Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo lo da la ley de los signos. 1) Dividir 4a³b² entre –2ab. 4a³b² ÷ -2ab = porque (-2ab) x (-2a²b)= 4a³b². = -2a²b

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2) Dividir –5a4b³c entre –a²b. -5a4b³c ÷ -a²b = porque 5a²b²c x (-a²b) = -5a4b³c.

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= 5a²b²c

Obsérvese que cuando en el dividendo hay una letra que no existe en el divisor, en este caso c, dicha letra aparece en el cociente. Sucede lo mismo que si la c estuviera en el divisor conexponente cero porque tendríamos: c ÷ c0 = c1-0 = c 3) Dividir –20mx²y³ ÷ 4xy³. -20mx²y³ ÷ 4xy³ = porque 4xy³ x (-5mx) = -20mx²y³. Obsérvese que letras iguales en el dividendo y divisor se cancelan porque su cociente es 1. Así, en este caso, y³ del dividendo se cancela con y³ del divisor, igual que en aritmética suprimimos los factores comunes en el numerador y denominador de un quebrado. También,de acuerdo con la ley de los exponentes y³ ÷ y³ = y³-³ = y0 y veremos más adelante que y0 = 1 y 1 como factor puede suprimirse en el cociente. 4) Dividir –xmynza entre 3xy²z³. -xmynza ÷ 3xy²z³ = 5) Dividir ax+3bm+2 entre ax+2bm+1. = ax+3-(x+2)bm+2-(m+1) = ax+3-x-2bm+2-m-1 = ab 6) Dividir –3x2a+3y3a-2 entre –5xa-4ya-1. = 3/5x2a+3-(a-4)y3a-2-(a-1) = 3/5x2a+3 – a+4y3a-2-a+1 = 3/5xa+7y2a-1 7)...