polinomios

MATEMÁTICAS

TIMONMATE

EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS

POLINOMIOS
A. Introducción Teoría
B. Ejercicios resueltos
B.1. Sumas y restas
B.2. Multiplicación
B.3. División
B.4. Sacar factor común
B.5. Simplificar fracciones algebraicas
B.6. Operaciones con fracciones algebraicas
B.7. Relación entre dividendo, divisor, resto y cociente

Notas teóricas
-

Operaciones conpolinomios:
a)

Suma y resta
Se agrupan los monomios del mismo grado y se opera.

b)

Multiplicación
Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por
cada uno de los términos del segundo y luego se agrupan y se
operan los términos del mismo grado.

c)

División
Suelen utilizarse dos métodos:
i. Método estándar: Se procede de forma análoga a la división
entrenúmeros.
dividendo divisor
resto

ii.

-

Se cumple que:

cociente

Dividendo  divisor  cociente  resto

Método de Ruffini: Sólo se puede aplicar para dividir
polinomios de grado igual o mayor que dos entre un binomio
de grado uno

Teorema del resto:

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El resto de la división de un polinomio entrex - a coincide con el valor
del polinomio en a, es decir: resto = P (a)
Factorización de polinomios:

-

Los polinomios compuestos pueden descomponerse como producto de
dos o más polinomios de grado menor. A esta tarea se le llama factorizar
polinomios.

Ejercicios resueltos
B.1. Sumas y restas
1.

3x + 2x = 5x

2.

6x – 15x = –9x

3.

3x 2 + 2x 2 - 3x + 5x = 5x 2 + 2 x4.

x 2 - 3x - 2x 2 - x = -x 2 - 4x

5.

x 3 - 3x - 2x 2 - x + 4 x 2 + 5x 3 = x 3 + 5x 3 - 2 x 2 + 4x 2 - 3x - x =
= 6x 3 + 2x 2 - 4x

6.

-(3x - 2x 2 ) - (x + 4x 2 ) = -3x + 2x 2 - x - 4x 2 = -2x 2 - 4x

B.2. Multiplica
7.

x ⋅ x 2 = x1+2 = x 3

8.

x 3 ⋅ x 2 = x 3+ 2 = x 5

9.

2x 4 ⋅ 3x 2 = 6x 4+2 = 6x 6

10. -2x7 ⋅ 5x-2 = -10 x7 +(-2) = -10 x 5
11. 6 · (3x + 2) =18x+12
12. 9 · (6x – 5) = 54x–45
13. – 3 · (2x – 7) = –6x+21
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14. 5 · (x – 2) = 5x–10
15. –2 · (3x – 9) = –6x+18
16. 9 · (6x – 5) = 54x–45
17. x · (x – 2) = x2 –2x
18. –2x · (3x – 9) = 6x2 +18x
19. 9x2 · (6x – 5) = 54x3 –45x2
20. 5x · (x2+x – 2) = 5x3 +5x2 –10x
21. (3x2 – 7x – 1) · (–4) · x5 = –12x7+28x6 +4x5
22. –2x2 · (3x3 – 9x2+7x+1) = –6x5 +18x4 –14x3 –2x2
23. 9x6(– 5x4 + 10x3 – 3x2 – x + 3) = –45x10 +90x9 –27x8 – 9x7 +27x6
24. (3x + 1)(5x + 2) = 3x· (5x + 2)+1· (5x + 2) =15x2+6x+5x + 2 = 15x2+11x+2
25. (2x + 7)(x + 1) =2x· (x + 1)+7· (x + 1) = 2x2+2x+7x + 7 = 2x2+9x+7
26. (x – 1)(5x + 6) = x· (5x + 6)–1· (5x + 6) = 5x2+6x–5x–6 = 5x2+x–6
27. (3x – 1)(–7x + 2) = 3x· (–7x + 2) –1·(–7x + 2) = –21x2+6x+7x – 2 =

= –21x2+13x–2
28. (3x + 7)(x2+x – 2)=
=(3x + 7)(x2+x – 2) = 3x ·(x2+x – 2) + 7· (x2+x – 2) =

= 3x3+3x2 –6x+ 7x2+7x –14 = 3x3+10x2 +x –14
29. (x2+x – 2)(x2+x – 2) =
= x2(x2+x–2)+x(x2+x–2)–2(x2+x–2) = x4+x3 –2x2 +x3+x2 –2x –2x2– 2x+4 =
= x4+2x3 –3x2 –4x+4
30. (x + 27 ) = x 2 + 2 27x + 27
2

31.

(

31x - 5) = 31x 2 - 10 31x + 25
2

æ x
öæ x
ö x2÷ç
÷
ç
+ 3 ֍
32. ç
÷
÷ç 3 - 3 ø = 3 - 3
÷
ç 3
è
øè
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33. (x - 2 )⋅ (x + 2 2 ) = x (x + 2 2 ) - 2 (x + 2 2 ) = x 2 + 2 2x - 2x - 2 =
x 2 + 2x - 2

34. (3x 2 - 3 ) = (3x 2 ) - 2 ⋅ 3x 2 ⋅ 3 + ( 3 ) = 9x 4 - 6 3x 2 + 3
2

2

35. (2x 4 + 5 ) = (2x 4 ) + 3 ⋅ (2x 4 ) ⋅ 5 + 3 ⋅ (2x 4 )⋅ ( 5 ) + ( 5 )=
3

3

2

2

3

= 8x12 + 12 ⋅ 5x 8 + 30x 4 + ( 5 )

3

TEMA RELACIONADO:
Binomio de Newton

B.3. División
36. (x 2 - 4x + 3) : (x - 1)

Solución:
a) Método de Ruffini
1

–4
1

1

–3

–3

1

3

0

Resto: 0

Cociente: x – 3

b) Método general o estándar
x2

– 4x

–x2

x

0

+3

x–1
Cociente

x–3

–3x

+3

3x

–3

0

0...