polinomios

1 CONOCIMIENTOS PREVIOS.

1

Polinomios.
1.

Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos b´ sicos:
a
Repasar las operaciones b´ sicas con n´ meros reales.
a
u
Repasar el c´ lculo del m.c.m. y m.c.d.
a
Repasar las operaciones con fracciones.

2.

Monomios.
Un monomio es una multiplicaci´ n entre n´ meros y letras. Por ejemplo:o
u
3 · x2 · 2y 3 · 5x

Normalmente, la multiplicaci´ n entre n´ meros y letras no se suele indicar:
o
u
3 · x2 · 2y 3 · 5x ↔ 3x2 2y 3 5x
Por ello cuando nos encontremos n´ meros y letras juntos se considerar´ que est´ n multiplicando.
u
a
a
Cunado en un monomio hay varios n´ meros multiplicando, lo m´ s habitual ser´ realizar dicha multiplicau
a
a
ci´ n entre los n´ meros:
o
u3x2 2y 3 5x = 3 · 2 · 5x2 y 3 x = 30x2 y 3 x
Para la letras se aplicar´ n las propiedades de las potencias:
a
30x2 y 3 x = 30x2+1 y 3 = 30x3 y 3
donde se ha aplicado la propidad de las potencias: an · am = an+m
A las letras de un monomio se las denomina parte literal. El orden que tengan las letras nos ser´ indiferente.
a
Por ejemplo:

3x2 y 2 
5y 2 x2
→ Los tres monomios tienen lamisma parte literal. Es decir, en los 3 monomios hay 2 x’s y 2 y’s.

2xxy 2
Ej.:

3x2 y 3 z
5xy 3 xz
6zyyyx2
9yyzyxx






→ Estos monomios tienen la misma parte literal. En los 3 monomios hay 2 x’s, 3 y’s y una z.





Cuando se tiene un monomio, siempre hay que multiplicar todos los n´ meros (que no sean exponentes):
u
3x2 2y 2 = 3 · 2x2 y 2 = 6x2 y 2

2 MONOMIOS.2

Al n´ mero que queda como resultado se le llama coeficiente. Por ejemplo:
u
parte literal
3x2 2y 2 = 6x2 y 2 →

6

x2 y 2

coeficiente
Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras (de la parte literal). Por ejemplo:
6x2 y 2 tiene grado 4 → Hay 2 x’s y 2 y’s
2x2 y 3 z tiene grado 6 → Hay 2 x’s, 3 y’s y una z
Por lo tanto, el grado de un monomiorepresenta el n´ mero de letras que tiene su parte literal (Recordad que
u
cuando se escribe x3 , realmente se quiere decir x3 = x · x · x).

2.1.

Operaciones con monomios.

2.1.1. Suma y resta.
S´ lo se pueden sumar monomios cuando tengan la misma parte literal. Lo que se har´ es sumar (o restar)
o
a
los coeficientes y dejar la parte literal inalterada.
Por ejemplo:
3x2 y 3 z + 5x2 y 3 z =8x2 y 3 z
5x2 + 3x2 + 2x2 = 10x2
5x2 y − 2x2 y = 3x2 y
5x2 + 3x2 − 2x2 = 6x2
5x2 y + 3yx2 − 2xyx = 6x2 y ← Se pueden sumar pues tienen la misma parte literal.
5x2 + 3y 2 =No se puede hacer nada pues no tienen la misma parte literal. Se quedar´a como est´ .
ı
a
2 + 3y − 5x2 + 2y = −3x2 + 5y ← Se operan los x2 con los x2 y los y con los y.
2x
5x2 + 2x + 3x2 − 2x2 + 3x = 6x2 + 5x
5xx + 3x2+ 2y = 8x2 + 2y
6x2 + 6x2 y + 7x + 3x2 = 9x2 + 6x2 y + 7x
Cuando no hay coeficiente, se considera que es 1:
x2 + 2x2 = 1x2 + 2x2 = 3x2

´
2.1.2. Multiplicacion.
Los n´ meros se multiplican entre s´, con las letras se aplican las propiedades de las potencias:
u
ı
(3x2 yz) · (2xy) = 3 · 2x2 yzxy = 6x3 y 2 z
(2x2 y 3 ) · (3x2 z 2 ) = 3 · 2x2 y 3 x2 z 2 = 6x4 y 3 z 2
Para la divisi´ n sedebe operar de forma id´ ntica:
o
e
3x2 y 3
3
3
= x2−1 y 3−1 = xy 2
2xy
2
2
4
x2
4x2 y 3 z
= x2 y 3−4 z 1−2 = 2x2 y −1 z −1 = 2
2z 2 y 4
2
yz

3 POLINOMIOS.

3.

3

Polinomios.
Un polinomio es una suma de monomios:
3x2 − 2x + 1

Al monomio que no tiene x se le llala t´ rmino independiente. En el polinomio 3x2 − 2x + 1 el 1 ser´a el t´ rmino
e
ı
e
independiente.
Sellamar´ grado de un polinomio al mayor de los grados de sus monomios. Por ej.:
a
5x6 + 3x2 + 1 → Tiene grado 6
5x2 + 1 → Tiene grado 2
5 → Tiene grado 0
Los polinomios se suelen indicar con letras may´ sculas y poniendo entre par´ ntesis las letras que intervienen
u
e
en el:
´
P (x) = x2 + 5x + 1
Q(x) = 2x + 1
As´ cuando se escribe P (x), como en el caso anterior, nos estamos...