polinomios

Polinomios y raíces: una presentación gráfica

José Luis Soto Munguía

UNI-SON

INTRODUCCIÓN
El contenido de este trabajo es una continuación de un primer módulo titulado Números
Complejos: una Presentación Gráfica [1], publicado en esta misma serie. Se desarrolla aquí el
tema de polinomios y raíces, mediante un acercamiento poco convencional. Al igual que en el
primer módulo, lasrepresentaciones gráficas se mantienen en un primer plano, pero el material
presenta algunas características distintivas que merecen ser comentadas.
1. Todas las gráficas en [1] pueden construirse con lápiz y papel, mientras que en el
presente trabajo se utilizan gráficas, tanto estáticas como dinámicas, hechas con computadora.
Los paquetes computacionales empleados para construirlas son CabriGéomètre II [2] y Maple
[3].
2. A pesar de que la lectura del presente trabajo exige solamente conocimientos
elementales de los softwares utilizados, a diferencia de [1], las actividades que integran este
módulo están pensadas para realizarse en un salón de clase dotado de computadoras que cuenten
con los softwares mencionados, así como los archivos a los que se refiere cada actividad.
Elcontenido matemático que se discute en este módulo gira alrededor de la pregunta:
¿Cuántas y de qué naturaleza son las raíces de un polinomio de grado n?, cuya respuesta aparece
resumida en lo que se conoce como el Teorema Fundamental del Álgebra.
En las primeras dos secciones se dan algunas definiciones básicas y se aborda el problema
de construir un polinomio cuyas raíces son conocidas. Cada vez quees posible se toman las
gráficas con lápiz y papel como punto de partida.
En la sección 3 se pretende explorar y establecer la relación existente entre el número de
raíces reales de un polinomio con coeficientes reales y las variaciones de signo de sus
coeficientes. Las actividades que integran esta sección han sido diseñadas con Cabri Géomètre II
y están pensadas para llevarse a cabo en unasala de cómputo.
En la sección 4 y última se analiza la gráfica de las raíces de un polinomio en el plano
complejo. El propósito aquí es enunciar con precisón el Teorema Fundamental del Álgebra a
partir de observar el número y naturaleza de las raíces de un polinomio (incluido el caso en el que
los coeficientes son números complejos), representadas gráficamente.

1

Polinomios y raíces:una presentación gráfica

José Luis Soto Munguía

UNI-SON

1. POLINOMIOS Y RAÍCES
Nos proponemos estudiar aquí el comportamiento general de expresiones como la siguiente:
x2-x+1
para todos los posibles valores de x, ya sean reales o complejos. De manera particular nos
interesaremos en la búsqueda de aquellos valores de x que anulan esta expresión. Llamaremos
entonces a la expresiónp(x)=x2-x+1 un polinomio de grado dos en la indeterminada x, y al caso
particular en el que p(x)=0 lo llamaremos la ecuación x2-x+1=0.
En el Ejemplo 7.1 de [l], veíamos que los valores de x que satisfacen la ecuación x2-x+1=0,
eran los números x1= 12  i

3
2

y x2= 12  i

3
2

; estos números se conocen como soluciones de esta

ecuación. Denotaremos con p(x1) y p(x2) la evaluación delpolinomio en x1 y x2 respectivamente
y como al evaluar p(x) en x1 y en x2, se tiene x12-x1+1=0 y x22-x2+1=0, llamaremos raíces del
polinomio a los números x1 y x2.
Como vimos antes, las soluciones de la ecuación x2-x+1=0 no son números reales. Si
consideramos todos los valores reales que puede tomar la indeterminada x y los graficamos en un
sistema cartesiano contra los valores reales quetoma el polinomio, obtendremos una gráfica
como la siguiente:

Figura 1
En la gráfica de la Figura 1 puede observarse que existen, por ejemplo, valores reales de x
para los cuales p(x)=1, en este caso x=0 y x=1, sin embargo no existen valores reales de x para los
que p(x)=0. puesto que si existieran, la gráfica cortaría al eje de las abscisas. Las raíces x1 y x2
2

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