polinomios

Capítulo 4: Función polinómica.
Definición

En muchas situaciones de la vida se presentan situaciones en las que se pueden involucrar las funciones.
Una función es una relación de dependencia entre dos variables; dado el valor de la variable independiente, queda determinado el valor de la variable dependiente, es decir, si se conoce el valor de una variable se puede hallar el valor de laotra por medio de una función.
Por ejemplo, si se conoce el radio de una circunferencia, es posible conocer la longitud de la circunferencia L=2.π.r , de aquí que la longitud de la circunferencia es función del radio.

Una de las propiedades de las potencias establece que:
Toda potencia con exponente cero es igual a 1.
a0=1Ejemplo:
20=1100=112650=1Si se conoce el lado de un cuadrado,entonces se puede conocer su área: A=l2, ya que el valor del área está en función del lado.
En general, una función polinómica P:Q⟶Q es una función que se escribe de la forma:
Px=anxn+an-1xn-1+…+a1x1+a0Donde:
an,an-1…a0 son números reales llamados coeficientes; an es el coeficiente de
xn; an-1es el coeficiente de xn-1; a2es el coeficiente de x2, a1 es el coeficiente
x1; a0 esel coeficiente de x0=1.
n es un número natural o cero llamado grado del polinomio. Este es el mayor
exponente de la variable que aparezca en los términos no nulos del polinomio.
anxn,an-1xn-1.…a1x1,a0 son los términos del polinomio.
a0 es el coeficiente de grado cero o termino independiente.
Grado de una función polinómica
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que seencuentra elevada la variable x.
El polinomio Px=5, es un polinomio de grado cero
El polinomio Px=5x+3, es un polinomio de primer grado
El polinomio Px=x2+5x+3, es un polinomio de segundo grado
El polinomio Px=4x3-x2+5x+3, es un polinomio de tercer grado
El polinomio Px=7x4+4x3-x2+5x+3, es un polinomio de cuarto grado
Ejemplos
El polinomio Px=75x4+4x3-3x2+5x+3, es de grado 4, tiene 5términos y sus coeficientes son: a4=75, a3=4, a2=3, a1=5,a0=32) Px=2x-4+34x3-13x-23+11, no es polinomio debido a que los exponentes de la variable x no son números naturales.
Función potencial
Se llama función potencial a cualquier función de la forma fx=xn, donde n es una constante real fija.
El domino, la grafica y las características de una función potencial dependerán del número n que figuraen el exponente de la variable x.
Operaciones con polinomios.
Los polinomios pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos entre sí.
Adición de polinomios:
Si Px=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 y Qx=bnxn+bn-1xn-1+…+b1x+b0, son dos polinomios sobre Q, entonces el polinomio suma Px+Q(x) es igual al polinomio S(x) dado por:
Sx=Px+Qx=an+bnxn+an-1+bn-1xn-1+…+a1+b1x+a0+b0Ejemplo. Dados lospolinomios Px=5x4-3x3-2x2-21 y Qx=-2x4+x3+18+2x2, obtener el polinomio suma Px+Q(x).
Solución: El método de agrupamiento de coeficiente, consiste básicamente en agrupar los coeficientes según sea el grado de la potencia:
Px+Qx=5x4-3x3-2x2-21 +-2x4+x3+18+2x2Px+Qx=5-2x4+-3+1x3+-2+2x2+0+0x+-21+18Px+Qx=3x4-2x3+0x2+0x-3Otro método más sencillo es el de suma término a término.
Para efectuar la sumatermino a término se toman en cuenta los siguientes pasos:
Se ordenan si (no están ordenados) los polinomios en forma decreciente.
Se colocan los polinomios uno debajo del otro, de manera que los términos semejantes queden en la misma columna, dejando un espacio si faltase una potencia de x, o se completa con ceros los términos que faltan.
Px= 5x4-3x3-2x2+0x-21 Qx=-2x4+x3+2x2+0x+18Porúltimo se suman algebraicamente los coeficientes de los términos semejantes.
Px= 5x4-3x3-2x2+0x-21 Qx=-2x4+ x3+2x2+0x+18 P(x)+Qx= 3x4-2x3+0x2+0x-3Propiedades de la adición de polinomio
En la adición de polinomios, al igual que en la adición de números racionales, cumple ciertas propiedades que permite operar más fácilmente con los polinomios....