polinomios

FACTORIZACION DE POLINOMIOS
 
FACTOR COMÚN
 
EJEMPLO: (Hay factor común entre las letras)
 
 
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
 
 
El factor común es x2 , la menor potencia con que la x aparece en el polinomio.
 
EXPLICACIÓN:
 
Aquí estoy sacando factor común x2, porque es la "x" elevada a la menor potencia con que aparece en este polinomio. Luegodivido cada término por x2, recordando que para dividir las letras hay que restar los exponentes.
(Propiedad de las potencias de igual base)
 
Primer término:
 
7x2 : x2 = 7
 
Segundo término:
 
11x3 : x2 = 11x
 
Tercer término:
 
-4x5 : x2 = -4x3
 
Cuarto término:
 
3x4 : x2 = 3x2
 
Quinto término:
 
-x8 : x2 = -x6                
 
 
¿Por qué el factor común es x2?
 
Porqueen todos los términos está multipicando la letra x, y el menor exponente con que aparece es 2. Entonces, hay factor común "x a la dos". Como no hay otra letra, y entre los números no hay divisor común, el único factor común es x2.
 
EJEMPLO 2: (Con fracciones)
 
 
4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)
 
 
El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobreel MCD del denominador, y la x a la menor potencia.
 
EXPLICACIÓN:
 
1) Saco factor común 2/3 x.
 
¿Por qué 2/3? Cuando hay fracciones, puedo pensarlo así: Saco el factor común entre los numeradores por un lado, y saco el factor común de los denominadores por el otro. El factor común del polinomio será una fracción formada por esos dos factores comunes, en su respectivo orden.
 
Aplicadoa nuestro ejemplo:
 
El factor común entre los numeradores es 2, y el factor común entre los denominadores es 3. Entonces, el factor común de todo el polinomio es:
 
"2 sobre 3" (2/3)
 
¿Porqué la x? Por ser la de menor exponente, como ya se vió en ejemplos anteriores
 
 
2) Luego, divido cada término por 2/3 x.
 
Primer término:
 
4/3 x : 2/3 x = 2
 
Segundo término:
 
- 8/9 x3 :2/3 x = -4/3 x2
 
Tercer término:
 
16/15 x7 : 2/3 x = 8/5 x6
 
Cuarto término:
 
-2/3 x5 : 2/3 x = - x4           
 
 
 
¿Porque 2/3 es factor común, y cómo me doy cuenta?
 
Cuando tenemos fracciones, podemos mirar los numeradores (4, 8, 16 y 2), y pensar si hay factor común entre ellos. En este caso, entre los numeradores el factor común es 2, ya que es su MCD. Y luego mirar losdenominadores (3, 9, 15 y 3), y ver si hay factor común entre ellos. En este caso el factor común entre los denominadores es 3. De ahí viene el 2/3, el 2 es el factor común de los numeradores y el 3 es el de los denominadores. Con esos dos números formamos una fracción y la sacamos como factór común.
 
 
¿Hay una manera práctica de dividir las fracciones cuando saco factor común?
 
Sí: "Lo dearriba con lo de arriba, y lo de abajo con lo de abajo".
Por ejemplo:
 
Para dividir  8/9 : 2/3,  hago así: "8 dividido 2, dá 4. Y 9 dividido 3, dá 3". El resultado es la fracción "4 sobre 3", es decir 4/3.
 
FACTOR COMÚN POR GRUPOS
 
EJEMPLO: (Todos los términos son positivos)
 
 
4a  +  4b  +  xa  +  xb  =
 
4.(a + b)  +  x.(a + b) =
 
     (a + b).(4 + x)
 
 
Saco factor común"4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).
 
EXPLICACIÓN:
 
Nota: Para entender este caso, primero hay que saber sacar Factor Común, es decir, saber aplicar el PRIMER CASO DE FACTOREO.
 
PASO 1: Agrupación de a dos términos
 
Agrupo de la siguiente manera:
 
4acon 4b  (ya que entre hay factor común "4" entre ellos). Y, por otro lado:
 
xa con xb  (ya que hay factor común "x" entre ellos)
 
(¿se podría haber agrupado de otra forma?)
 
Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a + b)
Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(a + b)
 
Como estoy sacando factor común "positivo", la "x" es positiva, y por...