polinomios

ANILLOS DE POLINOMIOS
Sea A un anillo conmutativo. El conjunto A[X] de
polinomios sobre A esta formado por los elementos
n
i=0

aiX i = a0 + a1X + a2X 2 + ... + anX n.

Se definen dos operaciones en A[X], la suma de polinomios
(a0+a1X+a2X 2+...+anX n)+(a0+a1X+a2X 2+...+anX n) =

(a0 + a0) + (a1 + a1)X + (a2 + a2)X 2 + ... + (an + an)X n
y el producto de polinomios
(

n

i=0

iaiX )(

m
i=0

i

biX ) =

n+m

(

i=0 i+j=k

aibj )X k .

Con estas operaciones A[X] es un anillo conmutativo.
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Definici´
on. El grado de un polinomio f ∈ A[X],
gr(f ), se define como el mayor i tal que ai = 0.
Si A es un dominio de integridad gr(f g) = gr(f ) +
gr(g).

Proposici´
on. Si A es un dominio de integridad, entonces A[X] es un dominio de integridad.Teorema Algoritmo de la divis´on. Sea K un cuerpo
y a(x), b(x) ∈ K[x], b(x) = 0, entonces existen polinomios q(x) y r(x) tales que
a(x) = b(x)q(x) + r(x)
y se tiene que r(x) = 0 o gr(r) < gr(b).
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Ceros de polinomios
Definici´
on. Un elemento a ∈ F se llama un cero o
ra´ız de un polinomio f (x) ∈ F [x] si f (a) = 0.
Teorema del resto. Si f (x) es un polinomio con
coeficientes en uncuerpo F , y a est´a en F , entonces f (a)
es el resto de dividir f (x) entre x − a.
Teorema de los ceros. Si f (x) ∈ F [x], F un
cuerpo, y a ∈ F , entonces f (a) = 0 si y s´olo si x − a
divide a f (x).
Corolario (D’Alambert) Cualquier ecuaci´on de grado
n sobre un cuerpo tiene a lo m´as n ceros.
Corolario Si dos polinomios f y g tienen grado a lo
m´as n en F [x] coinciden en n + 1 valoresentonces f = g.
Teorema de Descartes. Si f (x) = anxn+an−1xn−1...+
a1x + a0 est´a en Z[x] y tiene a x = r/s como un cero,
con r, s primos entre s´ı, entonces s divide a an y r divide
a a0 .
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Polinomios Irreducibles
Un polinomio p en F [x] es irreducible si p no es una
unidad y si p = f g implica que f o g es una unidad.
Proposici´
on. Si p es irreducible y f es un polinomio
que no esdivisible por p entonces el mcd(f, p) = 1.
´ n en polinomios irreducibles
Factorizacio
Teorema de factorizaci´
on. Cualquier polinomio
de grado ≥ 1 en F [x], F un cuerpo, es irreducible o
se puede escribir como un producto de polinomios irreducibles.
Definici´
on. Dos polinomios tales que cada uno es un
m´ultiplo escalar del otro se llaman asociados.
Teorema de unicidad de lafactorizaci´
on. En
F [x], F un cuerpo, si f = p1p2...pn = q1q2...qm son
dos factorizaciones de f como producto de polinomios
irreducibles en F [x] entonces n = m y reordenando cada
pi es asociado a un qi para i = 1, ..., n.
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Polinomios irreducibles sobre R
Teorema fundamental del ´
algebra. Cada polinomio p(x) en C de grado ≥ 1 tiene un cero en C.
Corolario. No existen polinomios irreduciblesen
R[x] de grado > 2.
Proposici´
on. Si f (x) = x2 + bx + c es un polinomio
de grado 2 en R[x], entonces f (x) es irreducible si y s´olo
si b2 − 4c < 0.
´ n en Q[x]
Factorizacio
Definici´
on.
Un polinomio f con coeficientes enteros se llama primitivo si el m´aximo com´un divisor de
los coeficientes es uno.
Lema de Gauss. Sea f (x) un polinomio con coeficientes enteros. Supongamos quef (x) = a(x)b(x) con
a(x), b(x) ∈ Q[x]. Entonces existen polinomios a1(x) y
b1(x) en Z[x] asociados a a(x) y b(x) respectivamente
tales que f (x) = a1(x)b2(x).
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Criterios de irreducibilidad

1. Reducci´
on m´
odulo m Sea f (x) = xn+an−1xn−1...+
a1x + a0 un polinomio m´onico en Z[x], si f (x) = xn +
an−1xn−1... + a1x + a0 en Zm[x] es irreducible para alg´un
m entonces f (x) esirreducible.

Ejemplo. x5 + 2x3 + x2 + 4x + 5 es irreducible.

2. Eisenstein Supongamos f (x) = anxn+an−1xn−1...+
a1x + a0 est´a en Z[x] y que exista un primo p tal que
i) p divide a an−1, ..., a1, a0,
ii) p no divide a an,
iii) p2 no divide a a0.
Entonces f (x) es irreducible en Q[x].

Ejemplo. x4 + 3x2 + 6x + 12
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´ dulo un polinomio.
Congruencias mo

En esta secci´on los...