POLINOMIOS

Polinomios

Trabajo Práctico Nº 6
Polinomios
1) Efectuar
P  Q ;
3 P + Q ; P2 – Q e
indicar su
grado
a) P = x2 - 2
Q = - 3 x2 + 6
cuando esto sea posible
b) P = x + 2
Q = x2 + 4 x +4

2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de
los
siguientes polinomios ?
3) Determinar a 
R para :

a) P Q

b) P3

c) P + Q

d) P3 + Q3

a) P = a x3 - a  x +
2

es tal que P(2) = - 1

b) P = x2 + 2  x + a

es tal que 0 es una de sus
raíces

c) P = a  x2 - a  x +
6

satisface que P(-1) = 6 y gr(P)
=2

4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada
uno de los siguientes casos :
Q 2x 2  2
a) P 2x 3  7x 2  a
1 4
b) P  x  1
4

Q x  2

5) Determinar el valor de k tal que P = 2 x3 + k x2 +5 x + 3 sea divisible por Q =
x2 - x + 3
1 2
4
3
P

x

ax

x b
6) ¿ Para qué valores de a y b el polinomio
4
divisible por
(x + 4) ; y tiene resto -18 al dividirlo por (x - 2) ?
7) Determinar a, b, c  R  para
que :
a) P = a x2 + b x + c
b) P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b

tenga a 1 y a 0 como
raíces
tengan a 2 como raíz
común

es

8) Hallar todas las raíces delos siguientes
7
4
2
polinomios :
3
2
P

x

3
x

d)
a) P 2x  x  2x  1
4
1
11
b) P  x 3  3x 2  x  3
e) P x 4  5x 3  7x 2  5x  6
2
2
si i es raíz de P
c) P x 4  x 3  4x 2  4x

9) Factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x
=2

es una raíz doble.

10) Determinar en cada caso la multiplicidad de  como raíz
de P :
a) P = (x - 1)2 (x2 - 1)  (x3 - 1)

=1

b) P = x8 - x6 + 6 x3

=0

11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces
sabiendo que el producto de dos de ellas es 1.
b) Dado P(x) = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0,
determinar m en los siguientes casos
i) las raíces son opuestas
iii) las raíces son reales e iguales.
ii) las raíces son recíprocas
c) Hallar las raíces de lossiguientes polinomios
reales 

i) P(x) = 2 x3 - x2 - 18 x + 9

si

1 + 2 = 0

ii) P(x) = x3 + 2 x2 + 3 x + 2

si

1 = 2 + 3

 

Un polinomio es una expresión de la
forma

P an x n  an  1x n  1  an  2x n  2  ...............  a2x 2  a1x  a0
una sucesión de sumas de términos conformados por un
coeficiente ai multiplicado por un factor xi

1

2

3

n

Podemosescribir

P   ai x i

donde el coeficiente an se llama coeficiente
principal
el mayor exponente de x (n), le da el grado al
polinomio
Si an  0 y aunque alguno(s) –o todos- los
Decimos entonces que el polinomio
coeficientes ai an sean nulos
i 0

P an x n  an  2x n  2  ..........
..... a2x 2  a0

Faltan los
términos de grado
1 y n-1

el polinomio es de grado n, peroincompleto
3
2
polinomio completo de
P = x – 3 x + 6 x -1
grado 3
polinomio incompleto de grado 4
P = x4 – 3 x2 + 6 x
-1

es de grado n

La suma de polinomios, se efectúa operando solamente
entre términos de igual grado
P = x4 – 3 x2 + 6 x –1

Q = x3 – 5 x2 - 2 x + 3

P + Q = ( x4 – 3 x2 + 6 x –1 ) + ( x3 – 5 x2 - 2 x +
3)
agrupamos los términos de igual grado de cadapolinomio;

1

2

P + Q x4 +x3 +( - 3 x2 – 2 x2 ) +( 6 x – 2
+( -1 + 3 )
=
x)
Y luego operamos los términos
P = x 4 + x3 – 5 x2 + 4 x
obtenidos
+2
Para multiplicar dos polinomios, se usa la propiedad
Luego sumamos los
distributiva (aplicando la regla de los signos) y luego
términos de igual grado
se resuelven cada uno de los términos que resulten
R · S = ( x 4 – 3 x2 + 6 x ) · ( x 3 -2 x + 3 )
=
= x4 · x3 + x4 · (-2 x) + x4 · 3 + (-3x2) · x3 + (-3x2) · (-2x)
+ ( -3 x2)7 · 3 +
6x · 4x3 + 56x · (-2x)
+ 6x · 3 =
5
R · S = x - 2x + 3x - 3x + 6x3 - 9x2 + 6x4 - 12x2 +
18x =

R · S = x7 - 5x5 + 9x4 + 6x3 - 21x2 + 18x

3

1 ) Si

a) P = x2 – 2

y

Q = - 3 x2 + 6

P  Q = ( x2 – 2 )  ( - 3 x2 + x2  (- 3 x2) + x2  6 + (– 2 )  (-3x2)+ (-2)
6=
6)=
grado...