Polinomios

Apuntes de Álgebra

4. Polinomios.
4.1 Definición de polinomio de igualdad de polinomios.
Los polinomios pueden ser tratados como una expresión o como una función.
Al considerar el polinom9io como expresión los símbolos x0, x1, x2, … , xn son i9ndicadores de
la posición de los números a0, a1, a2, …, an y los signos + deben interpretarse únicamente como
medios de conexión. Si el polinomioes considerado como función, los símbolos x0, x1, x2, … , xn
representan potencias de la variable x: a 0x0, a1x1, a2x2, …, anxn representan producto y los
signos + se interpretan como símbolos de adición.
Al considerar los polinomios como expresiones, se tendrá el siguiente proceso algebraico.

Definición:

Se llama polinomio en x con coeficientes en C a una expresión de la forma:
=
+
+++
, , ,…,

A las expresiones a0x0, a1x1, a2x2, …, anxn se les identifica como términos del polinomio y a los
números a0, a1, a2, …, an coeficientes de x0, x1, x2, … , xn, respectivamente.

Se conoce como grado de un polinomio al mayor índice superior que se encuentra en la
expresión, siempre y cuando el coefic9ientes correspondiente sea diferente de cero.

Sea el polinomio en x concoeficiente en C.
=
+
+
++
entero no negativo n es el grado del polinomio, lo que se representa como

Definición:

Igualdad de polinomios.

si a ≠ el
=.

Dos polinomios se consideran iguales si tienen los mismos términos, con excepción de
aquellos que tengan coeficientes cero, de acuerdo con la siguiente definición.

Definición:
Sean los polinomios en x con coeficientes en C.
=

Sedice que son iguales, f(x)=g(x) cuando:
=
=
=
,
=
=
=

Ejemplos:
28

=

<

<

,

,

<

>

Apuntes de Álgebra

Al considerar al polinomio como una función e C en C, si los polinomios f(x) y g(x) son iguales,
entonces f(x) = g(x), indica que las funciones f y g son iguales. Así pues, dos polinomios que
son iguales en el sentido algebraico lo son también comofunciones.
Adición de polinomios.
La adición de polinomios en el sentido algebraico, de be ser consistente con la definición de
adición de funciones y las propiedades de las operaciones en complejos.

Definición:
Sean los polinomios en x con coeficientes en C:
=

El polinomio f(x) + g(x) se define como:
+

=

=

+

Esta suma es de carácter general ya que siempre es posible considerar quedos polinomios
tienen el mismo número de términos.

Ejemplo.
Para representar el grado del polinomio obtenido de la suma se tiene que:
>
,
+
=
<
,
+
=
=
=,
+
=

Propiedades de la adición:
Teorema:

Si f(x), g(x), h(x) son polinomios en x con coeficientes en C, entonces:
+
.
=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
=

é

El polinomio θ x se conoce como polinomio cero debido a quetodos sus coeficientes son
iguales a cero, su grado no está definido.
29

Apuntes de Álgebra

Multiplicación de polinomios.
=

Definición:

Sean los polinomios en x con coeficientes en C.
polinomio f(x) g(x) se define como:
=
gr(fg) = gr(f) + gr(g)

=

=

. El
.

Ejemplos:
Se pueden escribir los polinomios en el orden que resulte mas conveniente de acuerdo con lo
que seesté tratando.

Propiedades.
Teorema
Si f(x), g(x), h(x) son polinomios en x con coeficientes en C, entonces:
=

=

=

é

Tomando simultáneamente la adición y la multiplicación de polinomios satisfacen también la
propiedad distributiva, es decir:

Teorema:

Si f(x), g(x), h(x) son polinomios en x con coeficientes en C, entonces:
+

+

=

Multiplicación de un polinomio por unescalar.
NOTA: Los polinomios de grado cero son, a fin de cuentas, números.
Debido a esto la multiplicación de un número complejo por un polinomio es un caso particular
de la multiplicación de polinomios. Así, si c es un numero complejo, éste puede expresarse
como: c = cx0, y si f(x) es un polinomio en x con coeficientes en C, entonces:

Por lo que:
Ejercicios.

=

+

+

=

+...