POLINOMIOS
Polinomios y Ecuaciones
*Þ"Þ Polinomios
Definición 1.
Sea : À ‚ Ä ‚ una función, se dice que :aBb es un polinomio en una variable, y
es de la forma
:aBb œ +! +" B +# B# † † † † +8 B8 œ !+3 B3
8
3œ!
donde 8 − ß +3 − ‚Þ
Los +3 se acostumbran a llamar coeficientes del polinomio, si +8 Á ! se dice que
el polinomio es de grado 8Þ
Nota. 1
Debemos agregar que no siempre lavariable de un polinomio es un número
complejo, pueden ser también entre otras: una matriz, una funcion, . . . . etc. que
obviamente requieren de otra definición, pero que, no trataremos en este texto.
*Þ#Þ Igualdad
Sean :aBb œ ! +3 B3 con +8 Á ! • ; aBb œ ! ,3 B3 con ,8 Á !
8
8
3œ!
3œ!
:aBb œ ; aBb Í +3 œ ,3 ß a 3 œ !ß "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8
Demostración.
:aBb ; aBb œ ! Ð+3 ,3 Ñ B3 œ !ß aceptandola independencia lineal de
8
3œ!
{"ß Bß B# ß Þ Þ Þ Þ ß B8 × que dice: -! -" B -# B# † † † † -8 B8 œ ! Í
-! œ -" œ † † † † œ -8 œ ! entonces se tiene +3 ,3 œ ! Í +3 œ ,3
La parte +3 œ ,3 Ê :aBb œ ; aBb es inmediata.
*Þ$Þ Suma y Producto
Sean :aBb œ ! +3 B3 con +8 Á !
8
3œ!
• ; aBb œ ! ,3 B3 con ,7 Á ! supóngase que
7
3œ!
8 7ß entonces:
a: ; baBb œ :aBb ; aBb donde, gradoa: ; b Ÿ 8 o bien grado 0.
a: † ; baBb œ :aBb † ; aBb dondeß grado a: † ; b œ 7 8
Propiedad 1.
Sean :aBb œ ! +3 B3 con +8 Á !
8
• ; aBb œ ! ,3 B3 con ,7 Á ! tales que
7
:aBb † ; aBb œ !ß a B − ‚ß entonces :aBb œ ! ” ; aBb œ !
3œ!
3œ!
Demostración.
Si :aBb Á ! • ; aBb Á ! entonces tanto :aBb como ; aBb tienen grado, luego
también :aBb † ; aBb entonces a: † ; baBb no es el polinomio 0, loque contradice
la hipótesis.
Propiedad 2.
Sean :aBbß ; aBb y
Si :aBb † ; aBb œ :aBb †
Como :aBb † ; aBb œ :aBb †
Definición 2.
Sean :aBb y ; aBb dos polinomios tales que ; aBb Á !Þ Se dice que ;aBb divide a
:aBb o que ; aBb es un factor de :aBb, si y solo si existe un polinomio =aBb tal que
:aBb œ =aBb † ; aBb.
Como ; aBb Á ! y :aBb œ =aBb † ; aBb Í
Ejemplo 1.
:aBb
œ =aBb
; aBb
Los polinomios B# B " y B " son factores del polinomio :aBb œ B$ "
pués
Š
"
#
:aBb œ B$ " œ aB "baB# B "b note que en este caso también
È$
#
3‹es un factor de :aBbÞ
Observación 1.
Ladefinición 2 dá a lugar un gran número de factorizaciones importantes, una de
ellas es la del ejemplo 1, otras como por ejemplo son:
1) B8 +8 œ ÐB +ÑaB8" B8# + † † † † B +8# +8" b
#Ñ B#8 +#8 œ aB8 +8 baB8 +8 b
$Ñ B) +) œ aB +baB +baB# +# baB% +% b
%Ñ B% " œ ŠB# È# B "‹ŠB# È# B "‹
Nota 2.
A los polinomios con coeficientes reales los llamaremos,polinomios reales.
Definición 3.
Un polinomio real se dice que es primo si y solo si no es posible factorizarlo en
polinomios reales.
Ejemplo 2.
:aBb œ B# $B % no es primo, en cambio ; aBb œ B# " es primo.(Ud. puede
fácilmente comprobarlo).
Propiedad 3.
Sean :aBb y ; aBb dos polinomios, con ; aBb Á !ß entonces existen dos únicos
polinomios =aBb y
Se deja propuesta.
Notas 3.
1) Es costumbre llamar a :aBb como el polinomio dividendo, a ; aBb como el
polinomio divisor, a =aBb el polinomio cuociente y a
2) Si en caso de ser
3) Si
4) De la propiedad 3, como ; aBb Á ! Ê
:aBb
; aBb
; aBb
*Þ$ Algoritmo de la División
:aBb
ß Ðgrado de :aBb grado de ; aBbÑ
; aBb
; aBb
1. Se ordenan los términos de :aBb y ; aBb en orden decreciente de sus potencias.
2. Se divide el término de mayor potencia de :aBb por el término de mayor
potencia de...
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