Polinomios

FACULTAD DE INGENIERIA - 2013

UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

Apunte de Algebra (Versi´
on preliminar)
[No publicar]
1.

Polinomios

1.1.

´
Introduccion

Definici´
on 1.1. Un polinomio es una funci´
on de
p:

Ê

Ê en Ê, dada por

Ê

−→
x −→ p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0

donde an , an−1 , . . . , a1 , a0 son constantes en
del polinomio p.

Ê se llamancoeficientes

Observaci´
on: Se tiene las siguientes observaciones:
Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en
por P( ).

Ê

Ê, se denota

Los coeficientes de los polinomios, tambi´en pueden ser n´
umero complejos. En este caso el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en , se denota por P( ).

Ê

olo si sus
Propiedad 1. Si p, q ∈ P( ), entonces p y q son iguales si y s´
coeficientesson iguales.

Definici´
on 1.2. Sea p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 un polinomio. Diremos que es de grado n si an = 0, en cuyo caso denotaremos
gr(p) = n.

Observaci´
on: Si p(x) = 0 (el que llamaremos polinomio nulo), diremos
que es de grado −∞, y lo denotaremos por gr(p) = −∞.
Ejemplo:
gr(3x3 + 2x − 1) = 3
gr(2x + 2) = 1
gr(2) = 0
gr(0) = −∞

1

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Observaci´
on: Los polinomios de grado 0 son exactamente los polinomios
constantes (que no dependen de x) p(x) = a0 con a0 = 0.

Ê

onico
Definici´
on 1.3. Sea p ∈ P( ) un polinomio. Diremos que p es m´
si
an = 1,

donde n = gr(p).

es decir, si el coeficiente asociado a la potencia de x m´
as grande vale
1.Ejemplo:
Son polinomios m´onicos,
x3 + 11x2 − 2x + 2
x2 − 7
x8 + x3 + 2

Ê

Definici´
on 1.4. Sean p, q ∈ P( ) dos polinomios:
n

ak xk

p(x) =
k=0
n

bk xk

q(x) =
k=0

Definimos:
El polinomio suma se define como el polinomio formado por la
suma de los coeficientes de p y q.
n

(ak + bk )xk

(p + q)(x) =
k=0

El polinomio producto tiene la siguiente definici´
on:
2n

k

(p · q)(x) =

aibk−i
k=0i=0

Observaci´
on: Estas operaciones cumplen:
2

xk

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gr(p + q) ≤ m´ax{gr(p), gr(q)}
gr(p · q) = gr(p) + gr(q).

Ê

´nico
Propiedad 2. Sean p, d ∈ P( ) con d = 0. Entonces existe un u
q, r ∈ P( ) tal que:

Ê

p = q · d + r.
gr(r) < gr(d).
Observaci´
on: Se tiene:
Laecuaci´
on:
p = d·q+r
se llama divisi´
on con resto de p por d.
El polinomio q se llama cuociente.
El polinomio r se llama resto.
Usando r(x) = 0, diremos que d divide a p, lo cual notaremos por p|d,
al igual que − {0}. Es decir,

Æ

Ê

d|p ⇐⇒ (∃q ∈ P( )) p = q · d.
Ejemplo:
Calculemos la divisi´
on entre p(x) = 5x3 − 3x + 2 y d(x) = x − 5.

Ê

Propiedad 3. Sean p ∈ P( ) y c ∈
x − c esexactamente p(c).

Ê. El resto de divir p por el polinomio

Definici´
on 1.5. Diremos que c ∈
P( ) si

Ê

es una ra´ız del polinomio p ∈

p(x) = 0.

Propiedad 4.
c∈

es ra´ız de p =⇒ (x − c)|p(x).

Propiedades 1. Se tiene las siguientes propiedades:
Si c1 , c2 , . . . , ck son ra´ıces distintaas de p, entonces
(x − c1 )(x − c2 ) · · · (x − ck )|p(x).

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Ê

Sea n ≥ 1. Si p ∈ P( ) es tal que gr(p) = n, entonces p posee a lo
m´
as n ra´ıces dinstintas.

Ê

Sea n ≥ 1 y p, q ∈ P( ) tales que gr(p) ≤ n y gr(q) ≤ n. Si p y q
coinciden en n + 1 puntos disintos, entonces son iguales.

Teorema 1.1. Sea p un polinomio con coeficientes en
gr(p) = n ≥ 1.
Entonces p posee almenos una ra´ız en .

, tal que

Propiedad 5. Sea p un polinomio con coeficientes en , tal que gr(p) =
n ≥ 1. Entonces existen valores α, c1 , . . . , cm ∈ y naturales l1 , . . . , lm ≥ 1
tales que
p(x) = α(x − c1 )l1 · · · (x − cm )lm .

Ê

Propiedad 6. Sea p ∈ P( ), y sea z ∈
conjungado z tambi´en es ra´ız de p.

una ra´ız de p. Entonces, el

Ê

Propiedad 7. Sea p un polinomio con coeficientes en...