Polinomios

TEORÍA DE ECUACIONES.
Rama de las matemáticas que estudia la naturaleza de las raíces de ecuaciones polinómicas y los métodos de búsqueda de dichas raíces. La teoría de las ecuaciones tiene aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y de las ciencias.
Una ecuación polinómica tiene la siguiente forma general
a0 + a1x1 + a2x2 + ... anxn = 0
En donde los coeficientes a0, a1, ..., an sonnúmeros cualesquiera. El grado de una ecuación polinómica es igual al número entero positivo n, si an ≠ 0. Una raíz es un valor de la x tal que al sustituir dicho valor en la ecuación polinómica se obtiene 0 = 0. Para resolver una ecuación polinómica, hay que encontrar todas las raíces de la ecuación.
Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado que sólo tiene una raíz. La única raíz de laecuación lineal ax + b = 0 es x = -b/a. La ecuación cuadrática, o de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces, dadas por la fórmula

Raíz de un polinomio
Si un polinomio P(x) se anula cuando se sustituye x por el número a, P(a) = 0, se dice que a es raíz de P(x). Por ejemplo, 3 es raíz del polinomio x4 – 3x2 – 5x – 39.
Toda ecuación racional entera P(x) = 0 admite al menos una raíz real oimaginaria.
Operaciones con polinomios:
Adición de polinomios
Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática.Para sumar P(x) = 3x4 –5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así:

La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamossu opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).
Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) - Q(x), al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.
A continuación, con un ejemplo, se ve cómose procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios P(x) = 3x4 - 5x2 + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4:

La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, esdecir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso.
La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que
P(x)·[Q(x) + R(x)] = P(x)·Q(x) + P(x)·R(x)
DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS
Se llama división entera de un polinomio P(x) de grado m entre otro Q(x) de grado n al proceso porel cual se obtienen otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplen las siguientes condiciones:
P(x) = Q(x)·C(x) + R(x) grado de C(x) = m - n; grado de R(x) ≤ n - 1
Los polinomios P, Q, C y R se llaman, respectivamente, dividendo, divisor, cociente y resto. Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo siguiente, conP(x) = 5x3 + 7x2 - 3 y Q(x) = x2 + 2x - 1:

El cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6.
La descripción del proceso es la siguiente:
El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5x3/x2 = 5x
Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo.
Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso...